¿Por qué la primera excitación radial de una partícula en un anillo 2D es El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-11T19:58:50.292Z Emilio Pisanty El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-11T19:58:50.292Z Considere la mecánica cuántica de una partícula masiva confinada por paredes de potencial infinito a un anillo 2Dun < r < segundo a < r < b a<r<b, para el cual las funciones propias del hamiltoniano obedecen a la ecuación estacionaria de Schrödinger −12∇2ψ ( r , θ ) = miψ ( r , θ )bajoψ ( un ) = ψ ( segundo ) = 0. − 1 2 ∇ 2 ψ ( r , θ ) = mi ψ ( r , θ ) bajo ψ ( a ) = ψ ( b ) = 0. -\frac12\nabla^2 \psi(r,\theta) = E\psi(r,\theta) \qquad \text{under}\quad \psi(a)=\psi(b)=0. Esta ecuación de Schrödinger es tan fácil de resolver como la del pozo cuadrado finito en 1D: la función de onda en sí debe ser una combinación lineal de funciones de Bessel de primer y segundo tipo, ψ ( r , θ ) = [ UNjmetro( k r ) + BYmetro( k r ) ]miyo soy θ, ψ ( r , θ ) = [ A j metro ( k r ) + B Y metro ( k r ) ] mi i metro θ , \psi(r,\theta) = \bigg[A J_m(kr) +B Y_m(kr)\bigg]e^{im\theta}, dóndemi=12k2 mi = 1 2 k 2 E=\frac12 k^2, y el cero en el anillo interior se puede resolver explícitamente con bastante facilidad, dando una función de onda de la forma ψ ( r , θ ) = norte[Ymetro( k a )jmetro( k r ) -jmetro( k a )Ymetro( k r ) ]miyo soy θ, ψ ( r , θ ) = norte [ Y metro ( k a ) j metro ( k r ) − j metro ( k a ) Y metro ( k r ) ] mi i metro θ , \psi(r,\theta) = N\bigg[Y_m(ka)J_m(kr) - J_m(ka)Y_m(kr)\bigg]e^{im\theta}, finalmente reduciendo el problema a la solución de una sola ecuación trascendental, Ymetro( k a )jmetro( k segundo ) -jmetro( k a )Ymetro( k segundo ) = 0 , Y metro ( k a ) j metro ( k b ) − j metro ( k a ) Y metro ( k b ) = 0 , Y_m(ka)J_m(kb) - J_m(ka)Y_m(kb)=0, los llamados ceros de Bessel de "producto cruzado" . Bien, con esa pequeña configuración, quiero hacer la siguiente nota: observación: en el límiteb / a ≫ 1 b / a ≫ 1 b/a\gg 1, donde el anillo es grande en comparación con su diámetro interior, el primerometro = 0 metro = 0 m=0estado excitado (es decir, el estado con exactamente un nodo radial) se encuentra entre el más bajometro = 2 metro = 2 m=2estado y el más bajometro = 3 metro = 3 m=3estado: Fuente de la imagen: Importar[" http://halirutan.github.io/Mathematica-SE-Tools/decode.m "][" http://i.stack.imgur.com/srzC6.png "] Esto es más fácil de mostrar gráficamente; la gráfica anterior muestra un rango razonablemente asintótico enb / a b / a b/a(configuraciónun = 1 a = 1 a=1), pero el comportamiento persiste hasta valores deb / a b / a b/atan grande como he querido poner. Con esto en mente, entonces: ¿Qué tiene de especial elmetro = 2 metro = 2 \mathbf{\boldsymbol m=2}ametro = 3 metro = 3 \mathbf{\boldsymbol m=3}¿paso? Es decir, si elmetro = 0 metro = 0 m=0,norter= 1 norte r = 1 n_r=1estado va a sentarse asintóticamente entre dos definido-metro metro mestados fundamentales, ¿por qué no entremetro = 0 metro = 0 m=0ymetro = 1 metro = 1 m=1? O, si las excitaciones azimutales son fundamentalmente más fáciles que las radiales, ¿por qué no entremetro = 1 metro = 1 m=1ymetro = 2 metro = 2 m=2? O, si va a ir en un punto alto de lametro metro mescalera, ¿por qué no lametro = 3 metro = 3 m=3ametro = 4 metro = 4 m=4ometro = 4 metro = 4 m=4ymetro = 5 metro = 5 m=5pasos mientras estamos en esto? mecánica cuántica función de onda potencial ecuación de Schroedinger valor propio El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-11T19:58:50.292Z Tal vez uno podría verificar el comportamiento asintótico de los ceros de Bessel del producto cruzado: la expresión asintótica de la página NIST podría brindar algunas ideas. El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-11T19:58:50.292Z Anders Sandberg El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-11T19:58:50.292Z @AndersSandberg Las asintóticas en el DLMF son para los ceros de alto orden de la misma ecuación (es decir, suv v \nues mimetro metro my ellosmetro metro mes minorter norte r n_r; los resultados son asintóticos en sumetro metro m), en lugar del comportamiento del cero de menor orden como la propia ecuación (a través deb b b) cambios. El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-11T19:58:50.292Z Emilio Pisanty El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-11T19:58:50.292Z Emilio Pisanty El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-11T19:58:50.292Z La mejor manera de abordar esta pregunta es cambiando el límite a la formaun / b → 0 a / b → 0 a/b\to 0, es decir, considerar el radio exterior como fijo y luego llevar el radio interior a cero. Eso generalmente requerirá quek a → 0 k a → 0 ka\to 0, y en ese régimen ela a a-coeficientes dependientes de la ecuación de cuantificación Ymetro( k a )jmetro( k segundo ) -jmetro( k a )Ymetro( k segundo ) = 0( ∗ ) ( ∗ ) Y metro ( k a ) j metro ( k b ) − j metro ( k a ) Y metro ( k b ) = 0 Y_m(ka)J_m(kb) - J_m(ka)Y_m(kb)=0 \tag{$$} se verán muy diferentes entre sí: mientrasjmetro( k a ) j metro ( k a ) J_m(ka)permanecerá acotado (y, pormetro > 0 metro > 0 m>0, tenderá a cero),Ymetro( k a ) Y metro ( k a ) Y_m(ka)siempre crecerá sin límite, lo que significa que, como primera aproximación a la ecuación de cuantificación( ∗ ) ( ∗ ) ()en ese límite, podemos simplemente descartar el término enYmetro( kb ) _ Y metro ( k b ) Y_m(kb), así que nos quedamos solo jmetro( k segundo ) = 0. j metro ( k b ) = 0. J_m(kb)=0. Es decir, el orden de los ceros radial y azimutal en este régimen asintótico es causado por el hecho de que los primeros ceros dej1( z) j 1 ( z ) J_1(z)yj2( z) j 2 ( z ) J_2(z)suceder antes del segundo cero dej0( z) j 0 ( z ) J_0(z), pero el primer cero dej3( z) j 3 ( z ) J_3(z)está entre el segundo y el tercer cero dej0( z) j 0 ( z ) J_0(z): Bien, eso resuelve el misterio, pero deja una pregunta abierta: si la condición de cuantización en este límite es solojmetro( k segundo ) = 0 j metro ( k b ) = 0 J_m(kb)=0, es decir, idéntico a un círculo completo sin un núcleo interno, entonces, ¿cómo logra la función de onda obtener un nodo en el medio? La respuesta a eso es ser un poco más precisos acerca de las aproximaciones tomadas en elk a → 0 k a → 0 ka\to 0límite, mediante el uso de estimaciones cuantitativas para elCmetro( k a ) C metro ( k a ) C_m(ka)coeficientes: usando las asintóticas jmetro( z) ∼zmetrom !2metro j metro ( z ) ∼ z metro metro ! 2 metro J_m(z) \sim \frac{z^m}{m! 2^m} para la solución regular, y Ymetro( z) ∼ −( metro - 1 ) !2metroπ1zmetro para m > 0yY0( z) ∼2πen( z) Y metro ( z ) ∼ − ( metro − 1 ) ! 2 metro π 1 z metro para metro > 0 y Y 0 ( z ) ∼ 2 π en ⁡ ( z ) Y_m(z) \sim -\frac{(m-1)!2^m}{\pi} \frac{1}{z^m} \text{ for }m>0 \quad \text{and} \quad Y_0(z) \sim \frac{2}{\pi} \ln(z) para el divergente, la condición de cuantificación dice jmetro( kb ) _j0( kb ) _≈ −πm ! ( metro - 1 ) !22 metros( k a)2 metrosYmetro( kb ) _para m > 0 , y ≈π21en( k a )Y0( kb ) . _ j metro ( k b ) ≈ − π metro ! ( metro − 1 ) ! 2 2 metro ( k a ) 2 metro Y metro ( k b ) para metro > 0 , y j 0 ( k b ) ≈ π 2 1 en ⁡ ( k a ) Y 0 ( k b ) . \begin{align} J_m(kb) & \approx - \frac{\pi}{m!(m-1)! 2^{2m}} (ka)^{2m}Y_m(kb) \quad \text{for }m>0, \ \text{and}\\ J_0(kb) & \approx \frac{\pi }{2} \frac{1}{\ln(ka)} Y_0(kb). \end{align}Hasta ahora, esto nos dice lo que ya sabíamos: laYmetro( kb ) _ Y metro ( k b ) Y_m(kb)se comportará bien en el otro extremo, y elka _ k a kaLos factores dependientes impulsaránjmetro( kb ) _ j metro ( k b ) J_m(kb)hasta cero. Sin embargo, lo que es más importante es que ahora podemos devolver estas estimaciones a la función de onda misma, que ahora dice ψ ( r , θ ) =norte′[jmetro( k r ) +πm ! ( metro - 1 ) !22 metros( k a)2 metrosYmetro( k r ) ]miyo soy θ, ψ ( r , θ ) = norte ′ [ j metro ( k r ) + π metro ! ( metro − 1 ) ! 2 2 metro ( k a ) 2 metro Y metro ( k r ) ] mi i metro θ , \psi(r,\theta) = N'\bigg[J_m(kr) + \frac{\pi}{m!(m-1)! 2^{2m}} (ka)^{2m}Y_m(kr)\bigg]e^{im\theta}, parametro > 0 metro > 0 m>0y ψ ( r , θ ) =norte′[j0( k r ) -π21en( k a )Y0( k r ) ] ψ ( r , θ ) = norte ′ [ j 0 ( k r ) − π 2 1 en ⁡ ( k a ) Y 0 ( k r ) ] \psi(r,\theta) = N'\bigg[J_0(kr) - \frac{\pi }{2} \frac{1}{\ln(ka)}Y_0(kr)\bigg] \qquad\qquad\qquad\qquad para el caso base. Lo importante aquí es que la solución está esencialmente dominada por lajmetro( k r ) j metro ( k r ) J_m(kr)término, porque el coeficiente delYmetro( k r ) Y metro ( k r ) Y_m(kr)término desaparece en elk a → 0 k a → 0 ka\to 0límite; por lo tanto, no sorprende que la condición de cuantificación se limite al caso de círculo completo. Sin embargo, esta dominación no se extiende hasta el límite interior: la solución tiene una pequeña cantidad deYmetro( k r ) Y metro ( k r ) Y_m(kr)en él, pero el coeficiente sigue siendo distinto de cero, y comok r k r krenfoqueska _ k a kadesde arriba, la función de NeumannYmetro( k r ) Y metro ( k r ) Y_m(kr)se hará cada vez más grande, por lo que para cualquier finitoa a aeventualmente será lo suficientemente grande para igualar la pequeñez del coeficiente, dando un término de orden1 1 1que cancelará el distinto de cerojmetro( k a ) j metro ( k a ) J_m(ka)contribución. Así, por ejemplo, enmetro = 0 metro = 0 m=0la función de onda se parece a su básicaj0( k r ) j 0 ( k r ) J_0(kr)estado fundamental del tambor, pero con un poquito deY0( k r ) Y 0 ( k r ) Y_0(kr)eso solo es relevante cuando diverge y elimina un cero en el origen. Finalmente, solo para documentar esto aquí: la asíntota dada arriba funciona bastante bien parametro ≥ 1 metro ≥ 1 m\geq 1, pero no es bueno para elmetro = 0 metro = 0 m=0canal, donde la convergencia a esa asintótica es logarítmica en lugar de ley de potencia. De hecho, esto se puede mejorar, tomando la ecuación como se planteó inicialmente, Ymetro( k a )jmetro( k segundo ) -jmetro( k a )Ymetro( k segundo ) = 0 ,( ∗ ) ( ∗ ) Y metro ( k a ) j metro ( k b ) − j metro ( k a ) Y metro ( k b ) = 0 , Y_m(ka)J_m(kb) - J_m(ka)Y_m(kb)=0, \tag{$*$} y suponiendo que la solución no cambia mucho, es decir, estableciendok segundo =jm , norte+ d k b = j metro , norte + d kb = j_{m,n}+\delta, alguna perturbación en elnorte norte nel cero dejmetro j metro J_m, y expandiendojmetro( kb ) _ j metro ( k b ) J_m(kb)linealmente sobre este punto, lo que produce jmetro( k segundo ) ≈ −jmetro + 1(jm , norte) d, j metro ( k b ) ≈ − j metro + 1 ( j metro , norte ) d , J_m(kb) \approx -J_{m+1}(j_{m,n})\delta, con todo lo demás intacto en el cero. Esto conduce a una ecuación lineal end d \delta, que se puede resolver para dar k segundo =jm , norte−1Ymetro(jm , norteun / b )jmetro(jm , norteun / b )Ymetro(jm , norte)jmetro + 1(jm , norte). k b = j metro , norte − 1 Y metro ( j metro , norte a / b ) j metro ( j metro , norte a / b ) Y metro ( j metro , norte ) j metro + 1 ( j metro , norte ) . kb= j_{m,n} - \frac{1}{Y_m(j_{m,n}a/b)} \frac{J_m(j_{m,n}a/b)Y_m(j_{m,n})}{J_{m+1}(j_{m,n})}. Parametro = 0 metro = 0 m=0, ese primer denominador da una asintótica de la forma k segundo =j0 , norte+π/ 2en( b /jm , norteun )jmetro(jm , norteun / b )Ymetro(jm , norte)jmetro + 1(jm , norte). k b = j 0 , norte + π / 2 en ⁡ ( b / j metro , norte a ) j metro ( j metro , norte a / b ) Y metro ( j metro , norte ) j metro + 1 ( j metro , norte ) . kb= j_{0,n} + \frac{\pi/2}{\ln(b/j_{m,n}a)} \frac{J_m(j_{m,n}a/b)Y_m(j_{m,n})}{J_{m+1}(j_{m,n})}. Esto realmente mejora esa convergencia, particularmente en la aproximación de línea gris sólida al estado fundamental: Fuente: Importar[" http://halirutan.github.io/Mathematica-SE-Tools/decode.m "][" http://i.stack.imgur.com/Uk9Eo.png "] El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-11T19:58:50.292Z

Question

¿Por qué la primera excitación radial de una partícula en un anillo 2D es El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-11T19:58:50.292Z Emilio Pisanty El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-11T19:58:50.292Z Considere la mecánica cuántica de una partícula masiva confinada por paredes de potencial infinito a un anillo 2Dun < r < segundo a < r < b a<r<b, para el cual las funciones propias del hamiltoniano obedecen a la ecuación estacionaria de Schrödinger −12∇2ψ ( r , θ ) = miψ ( r , θ )bajoψ ( un ) = ψ ( segundo ) = 0. − 1 2 ∇ 2 ψ ( r , θ ) = mi ψ ( r , θ ) bajo ψ ( a ) = ψ ( b ) = 0. -\frac12\nabla^2 \psi(r,\theta) = E\psi(r,\theta) \qquad \text{under}\quad \psi(a)=\psi(b)=0. Esta ecuación de Schrödinger es tan fácil de resolver como la del pozo cuadrado finito en 1D: la función de onda en sí debe ser una combinación lineal de funciones de Bessel de primer y segundo tipo, ψ ( r , θ ) = [ UNjmetro( k r ) + BYmetro( k r ) ]miyo soy θ, ψ ( r , θ ) = [ A j metro ( k r ) + B Y metro ( k r ) ] mi i metro θ , \psi(r,\theta) = \bigg[A J_m(kr) +B Y_m(kr)\bigg]e^{im\theta}, dóndemi=12k2 mi = 1 2 k 2 E=\frac12 k^2, y el cero en el anillo interior se puede resolver explícitamente con bastante facilidad, dando una función de onda de la forma ψ ( r , θ ) = norte[Ymetro( k a )jmetro( k r ) -jmetro( k a )Ymetro( k r ) ]miyo soy θ, ψ ( r , θ ) = norte [ Y metro ( k a ) j metro ( k r ) − j metro ( k a ) Y metro ( k r ) ] mi i metro θ , \psi(r,\theta) = N\bigg[Y_m(ka)J_m(kr) - J_m(ka)Y_m(kr)\bigg]e^{im\theta}, finalmente reduciendo el problema a la solución de una sola ecuación trascendental, Ymetro( k a )jmetro( k segundo ) -jmetro( k a )Ymetro( k segundo ) = 0 , Y metro ( k a ) j metro ( k b ) − j metro ( k a ) Y metro ( k b ) = 0 , Y_m(ka)J_m(kb) - J_m(ka)Y_m(kb)=0, los llamados ceros de Bessel de "producto cruzado" . Bien, con esa pequeña configuración, quiero hacer la siguiente nota: observación: en el límiteb / a ≫ 1 b / a ≫ 1 b/a\gg 1, donde el anillo es grande en comparación con su diámetro interior, el primerometro = 0 metro = 0 m=0estado excitado (es decir, el estado con exactamente un nodo radial) se encuentra entre el más bajometro = 2 metro = 2 m=2estado y el más bajometro = 3 metro = 3 m=3estado: Fuente de la imagen: Importar[" http://halirutan.github.io/Mathematica-SE-Tools/decode.m "][" http://i.stack.imgur.com/srzC6.png "] Esto es más fácil de mostrar gráficamente; la gráfica anterior muestra un rango razonablemente asintótico enb / a b / a b/a(configuraciónun = 1 a = 1 a=1), pero el comportamiento persiste hasta valores deb / a b / a b/atan grande como he querido poner. Con esto en mente, entonces: ¿Qué tiene de especial elmetro = 2 metro = 2 \mathbf{\boldsymbol m=2}ametro = 3 metro = 3 \mathbf{\boldsymbol m=3}¿paso? Es decir, si elmetro = 0 metro = 0 m=0,norter= 1 norte r = 1 n_r=1estado va a sentarse asintóticamente entre dos definido-metro metro mestados fundamentales, ¿por qué no entremetro = 0 metro = 0 m=0ymetro = 1 metro = 1 m=1? O, si las excitaciones azimutales son fundamentalmente más fáciles que las radiales, ¿por qué no entremetro = 1 metro = 1 m=1ymetro = 2 metro = 2 m=2? O, si va a ir en un punto alto de lametro metro mescalera, ¿por qué no lametro = 3 metro = 3 m=3ametro = 4 metro = 4 m=4ometro = 4 metro = 4 m=4ymetro = 5 metro = 5 m=5pasos mientras estamos en esto? mecánica cuántica función de onda potencial ecuación de Schroedinger valor propio El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-11T19:58:50.292Z Tal vez uno podría verificar el comportamiento asintótico de los ceros de Bessel del producto cruzado: la expresión asintótica de la página NIST podría brindar algunas ideas. El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-11T19:58:50.292Z Anders Sandberg El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-11T19:58:50.292Z @AndersSandberg Las asintóticas en el DLMF son para los ceros de alto orden de la misma ecuación (es decir, suv v \nues mimetro metro my ellosmetro metro mes minorter norte r n_r; los resultados son asintóticos en sumetro metro m), en lugar del comportamiento del cero de menor orden como la propia ecuación (a través deb b b) cambios. El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-11T19:58:50.292Z Emilio Pisanty El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-11T19:58:50.292Z Emilio Pisanty El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-11T19:58:50.292Z La mejor manera de abordar esta pregunta es cambiando el límite a la formaun / b → 0 a / b → 0 a/b\to 0, es decir, considerar el radio exterior como fijo y luego llevar el radio interior a cero. Eso generalmente requerirá quek a → 0 k a → 0 ka\to 0, y en ese régimen ela a a-coeficientes dependientes de la ecuación de cuantificación Ymetro( k a )jmetro( k segundo ) -jmetro( k a )Ymetro( k segundo ) = 0( ∗ ) ( ∗ ) Y metro ( k a ) j metro ( k b ) − j metro ( k a ) Y metro ( k b ) = 0 Y_m(ka)J_m(kb) - J_m(ka)Y_m(kb)=0 \tag{$$} se verán muy diferentes entre sí: mientrasjmetro( k a ) j metro ( k a ) J_m(ka)permanecerá acotado (y, pormetro > 0 metro > 0 m>0, tenderá a cero),Ymetro( k a ) Y metro ( k a ) Y_m(ka)siempre crecerá sin límite, lo que significa que, como primera aproximación a la ecuación de cuantificación( ∗ ) ( ∗ ) ()en ese límite, podemos simplemente descartar el término enYmetro( kb ) _ Y metro ( k b ) Y_m(kb), así que nos quedamos solo jmetro( k segundo ) = 0. j metro ( k b ) = 0. J_m(kb)=0. Es decir, el orden de los ceros radial y azimutal en este régimen asintótico es causado por el hecho de que los primeros ceros dej1( z) j 1 ( z ) J_1(z)yj2( z) j 2 ( z ) J_2(z)suceder antes del segundo cero dej0( z) j 0 ( z ) J_0(z), pero el primer cero dej3( z) j 3 ( z ) J_3(z)está entre el segundo y el tercer cero dej0( z) j 0 ( z ) J_0(z): Bien, eso resuelve el misterio, pero deja una pregunta abierta: si la condición de cuantización en este límite es solojmetro( k segundo ) = 0 j metro ( k b ) = 0 J_m(kb)=0, es decir, idéntico a un círculo completo sin un núcleo interno, entonces, ¿cómo logra la función de onda obtener un nodo en el medio? La respuesta a eso es ser un poco más precisos acerca de las aproximaciones tomadas en elk a → 0 k a → 0 ka\to 0límite, mediante el uso de estimaciones cuantitativas para elCmetro( k a ) C metro ( k a ) C_m(ka)coeficientes: usando las asintóticas jmetro( z) ∼zmetrom !2metro j metro ( z ) ∼ z metro metro ! 2 metro J_m(z) \sim \frac{z^m}{m! 2^m} para la solución regular, y Ymetro( z) ∼ −( metro - 1 ) !2metroπ1zmetro para m > 0yY0( z) ∼2πen( z) Y metro ( z ) ∼ − ( metro − 1 ) ! 2 metro π 1 z metro para metro > 0 y Y 0 ( z ) ∼ 2 π en ⁡ ( z ) Y_m(z) \sim -\frac{(m-1)!2^m}{\pi} \frac{1}{z^m} \text{ for }m>0 \quad \text{and} \quad Y_0(z) \sim \frac{2}{\pi} \ln(z) para el divergente, la condición de cuantificación dice jmetro( kb ) _j0( kb ) _≈ −πm ! ( metro - 1 ) !22 metros( k a)2 metrosYmetro( kb ) _para m > 0 , y ≈π21en( k a )Y0( kb ) . _ j metro ( k b ) ≈ − π metro ! ( metro − 1 ) ! 2 2 metro ( k a ) 2 metro Y metro ( k b ) para metro > 0 , y j 0 ( k b ) ≈ π 2 1 en ⁡ ( k a ) Y 0 ( k b ) . \begin{align} J_m(kb) & \approx - \frac{\pi}{m!(m-1)! 2^{2m}} (ka)^{2m}Y_m(kb) \quad \text{for }m>0, \ \text{and}\\ J_0(kb) & \approx \frac{\pi }{2} \frac{1}{\ln(ka)} Y_0(kb). \end{align}Hasta ahora, esto nos dice lo que ya sabíamos: laYmetro( kb ) _ Y metro ( k b ) Y_m(kb)se comportará bien en el otro extremo, y elka _ k a kaLos factores dependientes impulsaránjmetro( kb ) _ j metro ( k b ) J_m(kb)hasta cero. Sin embargo, lo que es más importante es que ahora podemos devolver estas estimaciones a la función de onda misma, que ahora dice ψ ( r , θ ) =norte′[jmetro( k r ) +πm ! ( metro - 1 ) !22 metros( k a)2 metrosYmetro( k r ) ]miyo soy θ, ψ ( r , θ ) = norte ′ [ j metro ( k r ) + π metro ! ( metro − 1 ) ! 2 2 metro ( k a ) 2 metro Y metro ( k r ) ] mi i metro θ , \psi(r,\theta) = N'\bigg[J_m(kr) + \frac{\pi}{m!(m-1)! 2^{2m}} (ka)^{2m}Y_m(kr)\bigg]e^{im\theta}, parametro > 0 metro > 0 m>0y ψ ( r , θ ) =norte′[j0( k r ) -π21en( k a )Y0( k r ) ] ψ ( r , θ ) = norte ′ [ j 0 ( k r ) − π 2 1 en ⁡ ( k a ) Y 0 ( k r ) ] \psi(r,\theta) = N'\bigg[J_0(kr) - \frac{\pi }{2} \frac{1}{\ln(ka)}Y_0(kr)\bigg] \qquad\qquad\qquad\qquad para el caso base. Lo importante aquí es que la solución está esencialmente dominada por lajmetro( k r ) j metro ( k r ) J_m(kr)término, porque el coeficiente delYmetro( k r ) Y metro ( k r ) Y_m(kr)término desaparece en elk a → 0 k a → 0 ka\to 0límite; por lo tanto, no sorprende que la condición de cuantificación se limite al caso de círculo completo. Sin embargo, esta dominación no se extiende hasta el límite interior: la solución tiene una pequeña cantidad deYmetro( k r ) Y metro ( k r ) Y_m(kr)en él, pero el coeficiente sigue siendo distinto de cero, y comok r k r krenfoqueska _ k a kadesde arriba, la función de NeumannYmetro( k r ) Y metro ( k r ) Y_m(kr)se hará cada vez más grande, por lo que para cualquier finitoa a aeventualmente será lo suficientemente grande para igualar la pequeñez del coeficiente, dando un término de orden1 1 1que cancelará el distinto de cerojmetro( k a ) j metro ( k a ) J_m(ka)contribución. Así, por ejemplo, enmetro = 0 metro = 0 m=0la función de onda se parece a su básicaj0( k r ) j 0 ( k r ) J_0(kr)estado fundamental del tambor, pero con un poquito deY0( k r ) Y 0 ( k r ) Y_0(kr)eso solo es relevante cuando diverge y elimina un cero en el origen. Finalmente, solo para documentar esto aquí: la asíntota dada arriba funciona bastante bien parametro ≥ 1 metro ≥ 1 m\geq 1, pero no es bueno para elmetro = 0 metro = 0 m=0canal, donde la convergencia a esa asintótica es logarítmica en lugar de ley de potencia. De hecho, esto se puede mejorar, tomando la ecuación como se planteó inicialmente, Ymetro( k a )jmetro( k segundo ) -jmetro( k a )Ymetro( k segundo ) = 0 ,( ∗ ) ( ∗ ) Y metro ( k a ) j metro ( k b ) − j metro ( k a ) Y metro ( k b ) = 0 , Y_m(ka)J_m(kb) - J_m(ka)Y_m(kb)=0, \tag{$*$} y suponiendo que la solución no cambia mucho, es decir, estableciendok segundo =jm , norte+ d k b = j metro , norte + d kb = j_{m,n}+\delta, alguna perturbación en elnorte norte nel cero dejmetro j metro J_m, y expandiendojmetro( kb ) _ j metro ( k b ) J_m(kb)linealmente sobre este punto, lo que produce jmetro( k segundo ) ≈ −jmetro + 1(jm , norte) d, j metro ( k b ) ≈ − j metro + 1 ( j metro , norte ) d , J_m(kb) \approx -J_{m+1}(j_{m,n})\delta, con todo lo demás intacto en el cero. Esto conduce a una ecuación lineal end d \delta, que se puede resolver para dar k segundo =jm , norte−1Ymetro(jm , norteun / b )jmetro(jm , norteun / b )Ymetro(jm , norte)jmetro + 1(jm , norte). k b = j metro , norte − 1 Y metro ( j metro , norte a / b ) j metro ( j metro , norte a / b ) Y metro ( j metro , norte ) j metro + 1 ( j metro , norte ) . kb= j_{m,n} - \frac{1}{Y_m(j_{m,n}a/b)} \frac{J_m(j_{m,n}a/b)Y_m(j_{m,n})}{J_{m+1}(j_{m,n})}. Parametro = 0 metro = 0 m=0, ese primer denominador da una asintótica de la forma k segundo =j0 , norte+π/ 2en( b /jm , norteun )jmetro(jm , norteun / b )Ymetro(jm , norte)jmetro + 1(jm , norte). k b = j 0 , norte + π / 2 en ⁡ ( b / j metro , norte a ) j metro ( j metro , norte a / b ) Y metro ( j metro , norte ) j metro + 1 ( j metro , norte ) . kb= j_{0,n} + \frac{\pi/2}{\ln(b/j_{m,n}a)} \frac{J_m(j_{m,n}a/b)Y_m(j_{m,n})}{J_{m+1}(j_{m,n})}. Esto realmente mejora esa convergencia, particularmente en la aproximación de línea gris sólida al estado fundamental: Fuente: Importar[" http://halirutan.github.io/Mathematica-SE-Tools/decode.m "][" http://i.stack.imgur.com/Uk9Eo.png "] El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-11T19:58:50.292Z

Emilio Pisanty

Considere la mecánica cuántica de una partícula masiva confinada por paredes de potencial infinito a un anillo 2D $a<r<b$ , para el cual las funciones propias del hamiltoniano obedecen a la ecuación estacionaria de Schrödinger

- \frac{1}{2} \nabla^{2} ψ (r, θ) = mi ψ (r, θ) bajo ψ (a) = ψ (b) = 0.

$-\frac12\nabla^2 \psi(r,\theta) = E\psi(r,\theta) \qquad \text{under}\quad \psi(a)=\psi(b)=0.$ Esta ecuación de Schrödinger es tan fácil de resolver como la del pozo cuadrado finito en 1D: la función de onda en sí debe ser una combinación lineal de funciones de Bessel de primer y segundo tipo,

ψ (r, θ) = [A j_{metro} (k r) + B Y_{metro} (k r)] {mi}^{i metro θ},

$\psi(r,\theta) = \bigg[A J_m(kr) +B Y_m(kr)\bigg]e^{im\theta},$ dónde

E = \frac{1}{2} k^{2}

$E=\frac12 k^2$ , y el cero en el anillo interior se puede resolver explícitamente con bastante facilidad, dando una función de onda de la forma

ψ (r, θ) = norte [Y_{metro} (k a) j_{metro} (k r) - j_{metro} (k a) Y_{metro} (k r)] {mi}^{i metro θ},

$\psi(r,\theta) = N\bigg[Y_m(ka)J_m(kr) - J_m(ka)Y_m(kr)\bigg]e^{im\theta},$ finalmente reduciendo el problema a la solución de una sola ecuación trascendental,

Y_{metro} (k a) j_{metro} (k b) - j_{metro} (k a) Y_{metro} (k b) = 0,

$Y_m(ka)J_m(kb) - J_m(ka)Y_m(kb)=0,$ los llamados ceros de Bessel de "producto cruzado" .

Bien, con esa pequeña configuración, quiero hacer la siguiente nota:

observación: en el límite $b/a\gg 1$ , donde el anillo es grande en comparación con su diámetro interior, el primero $m=0$ estado excitado (es decir, el estado con exactamente un nodo radial) se encuentra entre el más bajo $m=2$ estado y el más bajo $m=3$ estado:

^{Fuente de la imagen: Importar[" http://halirutan.github.io/Mathematica-SE-Tools/decode.m "][" http://i.stack.imgur.com/srzC6.png "]}

Esto es más fácil de mostrar gráficamente; la gráfica anterior muestra un rango razonablemente asintótico en $b/a$ (configuración $a=1$ ), pero el comportamiento persiste hasta valores de $b/a$ tan grande como he querido poner.

Con esto en mente, entonces:

¿Qué tiene de especial el $\mathbf{\boldsymbol m=2}$ a $\mathbf{\boldsymbol m=3}$ ¿paso? Es decir, si el $m=0$ , $n_r=1$ estado va a sentarse asintóticamente entre dos definido- $m$ estados fundamentales, ¿por qué no entre $m=0$ y $m=1$ ? O, si las excitaciones azimutales son fundamentalmente más fáciles que las radiales, ¿por qué no entre $m=1$ y $m=2$ ? O, si va a ir en un punto alto de la $m$ escalera, ¿por qué no la $m=3$ a $m=4$ o $m=4$ y $m=5$ pasos mientras estamos en esto?

Anders Sandberg

Tal vez uno podría verificar el comportamiento asintótico de los ceros de Bessel del producto cruzado: la expresión asintótica de la página NIST podría brindar algunas ideas.

Emilio Pisanty

@AndersSandberg Las asintóticas en el DLMF son para los ceros de alto orden de la misma ecuación (es decir, su

ν

$\nu$ es mi

m

$m$ y ellos

m

$m$ es mi

n_{r}

$n_r$ ; los resultados son asintóticos en su

m

$m$ ), en lugar del comportamiento del cero de menor orden como la propia ecuación (a través de

b

$b$ ) cambios.

Respuestas (1)

Tal vez uno podría verificar el comportamiento asintótico de los ceros de Bessel del producto cruzado: la expresión asintótica de la página NIST podría brindar algunas ideas.
@AndersSandberg Las asintóticas en el DLMF son para los ceros de alto orden de la misma ecuación (es decir, su $\nu$ es mi $m$ y ellos $m$ es mi $n_r$ ; los resultados son asintóticos en su $m$ ), en lugar del comportamiento del cero de menor orden como la propia ecuación (a través de $b$ ) cambios.

Emilio Pisanty · Answer 1

La mejor manera de abordar esta pregunta es cambiando el límite a la forma $a/b\to 0$ , es decir, considerar el radio exterior como fijo y luego llevar el radio interior a cero. Eso generalmente requerirá que $ka\to 0$ , y en ese régimen el $a$ -coeficientes dependientes de la ecuación de cuantificación

\begin{matrix} (*) & Y_{metro} (k a) j_{metro} (k b) - j_{metro} (k a) Y_{metro} (k b) = 0 \end{matrix}

$Y_m(ka)J_m(kb) - J_m(ka)Y_m(kb)=0 \tag{$*$}$ se verán muy diferentes entre sí: mientras

J_{m} (k a)

$J_m(ka)$ permanecerá acotado (y, por

m > 0

$m>0$ , tenderá a cero),

Y_{m} (k a)

$Y_m(ka)$ siempre crecerá sin límite, lo que significa que, como primera aproximación a la ecuación de cuantificación

(*)

$(*)$ en ese límite, podemos simplemente descartar el término en

Y_{m} (k b)

$Y_m(kb)$ , así que nos quedamos solo

j_{metro} (k b) = 0.

$J_m(kb)=0.$ Es decir, el orden de los ceros radial y azimutal en este régimen asintótico es causado por el hecho de que los primeros ceros de

J_{1} (z)

$J_1(z)$ y

J_{2} (z)

$J_2(z)$ suceder antes del segundo cero de

J_{0} (z)

$J_0(z)$ , pero el primer cero de

J_{3} (z)

$J_3(z)$ está entre el segundo y el tercer cero de

J_{0} (z)

$J_0(z)$ :

gráficos matemáticos

Bien, eso resuelve el misterio, pero deja una pregunta abierta: si la condición de cuantización en este límite es solo $J_m(kb)=0$ , es decir, idéntico a un círculo completo sin un núcleo interno, entonces, ¿cómo logra la función de onda obtener un nodo en el medio?

La respuesta a eso es ser un poco más precisos acerca de las aproximaciones tomadas en el $ka\to 0$ límite, mediante el uso de estimaciones cuantitativas para el $C_m(ka)$ coeficientes: usando las asintóticas

j_{metro} (z) \sim \frac{z^{metro}}{metro! 2^{metro}}

$J_m(z) \sim \frac{z^m}{m! 2^m}$ para la solución regular, y

Y_{metro} (z) \sim - \frac{(metro - 1)! 2^{metro}}{π} \frac{1}{z^{metro}} para metro > 0 y Y_{0} (z) \sim \frac{2}{π} en (z)

$Y_m(z) \sim -\frac{(m-1)!2^m}{\pi} \frac{1}{z^m} \text{ for }m>0 \quad \text{and} \quad Y_0(z) \sim \frac{2}{\pi} \ln(z)$ para el divergente, la condición de cuantificación dice

\begin{aligned} j_{metro} (k b) & \approx - \frac{π}{metro! (metro - 1)! 2^{2 metro}} (k a)^{2 metro} Y_{metro} (k b) para metro > 0, y \\ j_{0} (k b) & \approx \frac{π}{2} \frac{1}{en (k a)} Y_{0} (k b) . \end{aligned}

$\begin{align} J_m(kb) & \approx - \frac{\pi}{m!(m-1)! 2^{2m}} (ka)^{2m}Y_m(kb) \quad \text{for }m>0, \ \text{and}\\ J_0(kb) & \approx \frac{\pi }{2} \frac{1}{\ln(ka)} Y_0(kb). \end{align}$ Hasta ahora, esto nos dice lo que ya sabíamos: la

Y_{m} (k b)

$Y_m(kb)$ se comportará bien en el otro extremo, y el

k a

$ka$ Los factores dependientes impulsarán

J_{m} (k b)

$J_m(kb)$ hasta cero.

Sin embargo, lo que es más importante es que ahora podemos devolver estas estimaciones a la función de onda misma, que ahora dice

ψ (r, θ) = {norte}^{'} [j_{metro} (k r) + \frac{π}{metro! (metro - 1)! 2^{2 metro}} (k a)^{2 metro} Y_{metro} (k r)] {mi}^{i metro θ},

$\psi(r,\theta) = N'\bigg[J_m(kr) + \frac{\pi}{m!(m-1)! 2^{2m}} (ka)^{2m}Y_m(kr)\bigg]e^{im\theta},$ para

m > 0

$m>0$ y

ψ (r, θ) = {norte}^{'} [j_{0} (k r) - \frac{π}{2} \frac{1}{en (k a)} Y_{0} (k r)]

$\psi(r,\theta) = N'\bigg[J_0(kr) - \frac{\pi }{2} \frac{1}{\ln(ka)}Y_0(kr)\bigg] \qquad\qquad\qquad\qquad$ para el caso base. Lo importante aquí es que la solución está esencialmente dominada por la

J_{m} (k r)

$J_m(kr)$ término, porque el coeficiente del

Y_{m} (k r)

$Y_m(kr)$ término desaparece en el

k a \to 0

$ka\to 0$ límite; por lo tanto, no sorprende que la condición de cuantificación se limite al caso de círculo completo.

Sin embargo, esta dominación no se extiende hasta el límite interior: la solución tiene una pequeña cantidad de $Y_m(kr)$ en él, pero el coeficiente sigue siendo distinto de cero, y como $kr$ enfoques $ka$ desde arriba, la función de Neumann $Y_m(kr)$ se hará cada vez más grande, por lo que para cualquier finito $a$ eventualmente será lo suficientemente grande para igualar la pequeñez del coeficiente, dando un término de orden $1$ que cancelará el distinto de cero $J_m(ka)$ contribución. Así, por ejemplo, en $m=0$ la función de onda se parece a su básica $J_0(kr)$ estado fundamental del tambor, pero con un poquito de $Y_0(kr)$ eso solo es relevante cuando diverge y elimina un cero en el origen.

Finalmente, solo para documentar esto aquí: la asíntota dada arriba funciona bastante bien para $m\geq 1$ , pero no es bueno para el $m=0$ canal, donde la convergencia a esa asintótica es logarítmica en lugar de ley de potencia.

De hecho, esto se puede mejorar, tomando la ecuación como se planteó inicialmente,

\begin{matrix} (*) & Y_{metro} (k a) j_{metro} (k b) - j_{metro} (k a) Y_{metro} (k b) = 0, \end{matrix}

$Y_m(ka)J_m(kb) - J_m(ka)Y_m(kb)=0, \tag{$*$}$ y suponiendo que la solución no cambia mucho, es decir, estableciendo

k b = j_{m, n} + δ

$kb = j_{m,n}+\delta$ , alguna perturbación en el

n

$n$ el cero de

J_{m}

$J_m$ , y expandiendo

J_{m} (k b)

$J_m(kb)$ linealmente sobre este punto, lo que produce

j_{metro} (k b) \approx - j_{metro + 1} (j_{metro, norte}) d,

$J_m(kb) \approx -J_{m+1}(j_{m,n})\delta,$ con todo lo demás intacto en el cero. Esto conduce a una ecuación lineal en

δ

$\delta$ , que se puede resolver para dar

k b = j_{metro, norte} - \frac{1}{Y_{metro} (j_{metro, norte} a / b)} \frac{j_{metro} (j_{metro, norte} a / b) Y_{metro} (j_{metro, norte})}{j_{metro + 1} (j_{metro, norte})} .

$kb= j_{m,n} - \frac{1}{Y_m(j_{m,n}a/b)} \frac{J_m(j_{m,n}a/b)Y_m(j_{m,n})}{J_{m+1}(j_{m,n})}.$ Para

m = 0

$m=0$ , ese primer denominador da una asintótica de la forma

k b = j_{0, norte} + \frac{π / 2}{en (b / j_{metro, norte} a)} \frac{j_{metro} (j_{metro, norte} a / b) Y_{metro} (j_{metro, norte})}{j_{metro + 1} (j_{metro, norte})} .

$kb= j_{0,n} + \frac{\pi/2}{\ln(b/j_{m,n}a)} \frac{J_m(j_{m,n}a/b)Y_m(j_{m,n})}{J_{m+1}(j_{m,n})}.$

Esto realmente mejora esa convergencia, particularmente en la aproximación de línea gris sólida al estado fundamental:

^{Fuente: Importar[" http://halirutan.github.io/Mathematica-SE-Tools/decode.m "][" http://i.stack.imgur.com/Uk9Eo.png "]}

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