¿Estados propios del potencial cónico en 3 dimensiones?

Question

¿Estados propios del potencial cónico en 3 dimensiones?

Sean E. Lago

Si tomamos una ecuación de Schödinger ordinaria e invariante en el tiempo:

H | ψ ⟩ = mi | ψ ⟩,

$H|\psi\rangle = E|\psi\rangle,$ y usar un potencial cónico

V (r) = A r

$V(r) = A r$ obtenemos una ecuación diferencial:

[- (\frac{ℏ^{2}}{2 metro}) \nabla^{2} + A r] ψ (\vec{r}) = mi ψ (\vec{r}) .

$\left[-\left(\frac{\hbar^2}{2m}\right)\nabla^2 + A r\right]\psi\left(\vec{r}\right) = E\psi\left(\vec{r}\right).$

En una dimensión esto se convierte en la ecuación diferencial de Airy , con la función de Airy , $\psi_n(x) = N [\operatorname{sgn}(x-x_n)]^n \operatorname{Ai}(k|x-x_n|)$ , dando soluciones normalizables para valores de $x_n$ fijado por la energía y la escala inversa $k=\sqrt[3]{\frac{2Am}{\hbar^2}}$ .

¿Se conocen los valores propios y los estados propios para los casos de 2 y, especialmente, 3 dimensiones? ¿Incluso para los estados de momento angular cero? Pregunté si la ecuación diferencial resultante se puede relacionar con una estándar con soluciones conocidas en math.stackexchange y no tengo una respuesta allí, pero pensé que alguien aquí en physics.stackexchange podría estar más familiarizado con este problema en particular.

Respuestas (1)

¿Estados propios del potencial cónico en 3 dimensiones?

AccidentalFourierTransformar · Answer 1

Ver esta respuesta mía . En $d$ dimensiones espaciales, su ecuación dice

{tu}^{″} (r) + 2 metro [mi - V_{ℓ} (r)] tu (r) = 0

$u''(r)+2m[E-V_\ell(r)]u(r)=0$ donde está el potencial efectivo

V_{ℓ} = V (r) + \frac{1}{2 metro} \frac{ℓ_{d} (ℓ_{d} + 1)}{r^{2}}

$V_\ell=V(r)+\frac{1}{2m}\frac{\ell_d(\ell_d+1)}{r^2}$ con

ℓ_{d} = ℓ + (d - 3) / 2

$\ell_d=\ell+(d-3)/2$ . El estado de momento angular cero tiene

ℓ = 0

$\ell=0$ , y por lo tanto en

d = 3

$d=3$ dimensiones de la ecuación para

u (r)

$u(r)$ es idéntica a la ecuación 1D de Airy, cuya solución ya conoces. Para

ℓ_{d} \neq 0

$\ell_d\neq 0$ no parece haber soluciones analíticas. El comportamiento asintótico en

r \to \infty

$r\to\infty$ debe ser fácil de calcular, ya que el término centrífugo es despreciable en comparación con el término lineal

A r

$Ar$ . Otras propiedades del sistema no se estiman tan fácilmente usando métodos analíticos, pero siempre se puede recurrir a métodos numéricos.

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Sean E. Lago

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AccidentalFourierTransformar

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