Teorema de Liouville. ¿Verdadero o falso?

En mi curso de teoría cuántica, hay una pregunta para verificar si las expectativas en la teoría cuántica y clásica de Liouville son idénticas.

Aquí está la versión original:

"Suponga que el sistema es clásico pero que su conocimiento inicial del sistema está descrito por una función de densidad de probabilidad$\rho$( q, p, t ). Utilice la ecuación de Liouville para obtener un par de ecuaciones diferenciales que describan la evolución temporal de los valores esperados clásicos.

$$\langle q\rangle=\int dq \int dp\,\rho(p,q,t)q\quad\langle p\rangle=\int dq\int dp \,\rho(p,q,t)p$$ Lo que significa derivar: $$\frac{d}{dt}\langle q\rangle=\langle p\rangle\quad \frac{d}{dt}\langle p\rangle=\langle F\rangle$$ con $$\frac{dq}{dt}=p \quad \frac{dp}{dt}=F$$ y $$\frac{d\rho}{dt}=0\quad(\text{By Liouville's Thm})$$ Como se conoce.

Sin embargo, uno tendrá un problema:

Darse cuenta de:

$$\frac{d}{dt}\int f(x,t)\,dx =\int \frac{\partial f(x,t)}{\partial t}\, dx$$ no $$\frac{d}{dt}\int f(x,t)\,dx =\int \frac{d f(x,t)}{dt}\, dx$$ Se obtendrá: $$\frac{d\langle q\rangle}{dt}=\frac{d}{dt}\int dq \int dp\,\rho(p,q,t)q=\int dq \int dp\,\frac{\partial}{\partial t}(\rho(p,q,t)q)\neq \int dq \int dp\,\frac{d}{d t}(\rho(p,q,t)q)$$ Sin embargo, esto último es lo que se esperaba.

¿Que esta mal aquí?