El símbolo 6-j y los bucles de Wilson que se cruzan, redux

Esta es una pregunta bastante específica que continúa con los problemas que tengo al calcular el valor esperado de los bucles de Wilson que se cruzan y que expuse aquí . Usando las herramientas de la respuesta allí, rápidamente llegué a la siguiente expresión para el factor local asociado a un vértice, donde dos bucles de Wilson con repeticiones$\alpha_1$y$\alpha_2$se encuentran, y donde las cuatro regiones circundantes tienen representantes$\beta_1$a$\beta_4$:

$$G(\alpha_1,\alpha_2,\beta_{1,2,3,4})_{\mu\nu}^{\sigma\rho} := \epsilon_\mu^{ijk}(\alpha_1,\beta_1,\beta_4)\epsilon_\nu^{lmn}(\alpha_2,\beta_1,\beta_2){\epsilon^*}^\sigma_{ijk}(\alpha_1,\beta_2,\beta_3){\epsilon^*}^\rho_{lmn}(\alpha_2,\beta_3,\beta_4)$$

Los índices griegos son los índices derivados de la descomposición de los productos tensoriales como$a^i \otimes b^j \otimes b^k = \epsilon_\mu^{ijk}e^\mu$, lo que lleva a resultados integrales como

$$\int \alpha_i(V_b)^i_{i'} \beta_c(V_b)^j_{j'} \beta_{c'}(V_b)^k_{k'} \mathrm{d} V_b = {\epsilon^*}^\mu_{i'j'k'}\epsilon^{ijk}_\mu$$ (ver respuesta anterior ). Desde el $\epsilon^*$que tiene el $\mu$esto se suma con vidas en el extremo opuesto de (parte de) la línea de Wilson, los índices griegos necesariamente deben permanecer abiertos en los vértices. Estoy totalmente de acuerdo con que este sea el resultado del cálculo, pero todavía estoy desconcertado por qué la relación con el símbolo 6j se lanza tan casualmente.

Permítanme comentar primero que la ecuación anterior ya es sospechosamente similar a la primera ecuación en la definición de$6j$símbolos , pero los índices libres me están irritando. Si$\epsilon_\mu^{ijk}(\alpha_l,\beta_m,\beta_n)$es el$3jm$símbolo (con$i,j,k$haciendo el papel de$m$y las repeticiones correspondientes a la$j$), ¿cuál es el índice adicional$\mu$¿haciendo aquí? si no es el$3jm$símbolo (que estoy pensando actualmente), entonces ¿por qué el$G$definido anteriormente sea el$6j$símbolo (y por qué tiene índices libres)? (Si estos no son ni$3jm$ni$6j$símbolos, entonces ¿por qué Witten, Ramgoolam, Moore, etc. insisten en que lo son?)

Tenga en cuenta que el$6j$símbolo no puede surgir después de sumar los índices griegos, ya que el$G$Los s a los que pertenece el segundo índice están, en general, en otros vértices, por lo que no tienen exactamente las mismas 6 repeticiones como argumentos.

Además, el$3jm$Los símbolos son, si los entiendo correctamente, esencialmente los coeficientes de Clebsch-Gordan para expandir un producto tensorial de dos repeticiones irreducibles en un tercero, y el$\epsilon$anterior expanda el producto tensorial de tres repeticiones irreducibles en todos los cuartos posibles (que luego se suman en forma de índices griegos).

Algo no encaja aquí, y sospecho que es solo en mi comprensión de los símbolos, por lo que realmente agradecería que alguien aclarara mi confusión.

EDITAR :

Vale, creo que he encontrado algo, pero todavía estoy lejos de resolver este acertijo, y requiere pensar más detenidamente en los coeficientes.$\epsilon^{ijk}_\mu$:

Dejar$\alpha,\beta,\gamma$ser repeticiones con elementos base$a^i,b^j,c^k$como antes. Entonces, podemos descomponer el producto tensorial paso a paso en lugar de de una vez como:

$$a^i \otimes b^j \otimes c^k = \sum_{\rho \subset \alpha \otimes \beta} C(\alpha,\beta,\rho)^{ij}_\zeta e(\rho)^\zeta \otimes c^k = \sum_{\rho \subset \alpha \otimes \beta} \sum_{\sigma \subset \rho \otimes \gamma} C(\alpha,\beta,\rho)^{ij}_\zeta C(\rho,\gamma,\sigma)^{\zeta k}_\mu e(\sigma)^\mu$$

(Pido disculpas por la abundancia de símbolos, pero realmente queda más claro lo que sucede de esa manera).

Aquí el$C(j_1,j_2,j_3)$son ahora manifiestamente coeficientes de Clebsch-Gordan para$j_1,j_2$en$j_3$, y por lo tanto esencialmente$3jm$símbolos y la notación$\rho \subset \alpha \otimes \beta$significa que la irreducible rep$\rho$ocurre como una subrepresentación en$\alpha \otimes \beta$. Dado que los coeficientes de Clebsch-Gordan para las repeticiones que no aparecen en un producto tensorial dado son cero, podemos eliminar la restricción sobre las sumas y sumar todas las repeticiones irreducibles. De este modo,$\epsilon^{ijk}_\mu = \sum_\rho C(\alpha,\beta,\rho)^{ij}_\zeta C(\rho,\gamma,\sigma)^{\zeta k}_\mu$.

Ahora, en el resultado integral anterior, por el teorema de Peter-Weyl (ver también la respuesta anterior), el$\epsilon$sólo se suman sobre el$\mu$pertenecientes a subrepresentantes triviales de$\alpha \otimes \beta \otimes \gamma$, es decir$\sigma = 0$, si denotamos la repetición trivial por$0$en analogía a$j = 0$en el caso de giro. Por tanto, tenemos que el resultado de la integral es

$$I := \int \alpha(g)^i_{i'}\beta(g)^j_{j'}\gamma(g)^k_{k'} = \left(\sum_\rho C(\alpha,\beta,\rho)^{ij}_\zeta C(\rho,\gamma,0)^{\zeta k}_\mu C^*(\alpha,\beta,\rho)_{i'j'}^\eta C^*(\rho,\gamma,0)_{\eta k'}^\mu\right)$$

Pero el representante irreducible trivial tiene solo una dimensión, por lo que la suma sobre el$\mu$es solo la multiplicidad$n(\rho,\gamma,0)$de$0$en$\rho \otimes \gamma = \bigoplus_\sigma n(\rho,\gamma,\sigma)\sigma$, es decir

$$I = \sum_\rho n(\rho,\gamma,0)C(\alpha,\beta,\rho)^{ij}_\zeta C(\rho,\gamma,0)^{\zeta k} C^*(\alpha,\beta,\rho)_{i'j'}^\eta C^*(\rho,\gamma,0)_{\eta k'}$$

Esto se deshace de lo molesto$\mu$, daría lugar a la$G$desde el comienzo de la pregunta a estar compuesto por la suma sobre un producto de 8$3jm$símbolos (los$C(\alpha,\beta,\gamma)$), de los cuales 4 se suman cada uno sobre sus$m$índices, dando el producto de dos$6j$símbolos sumados sobre uno de sus$j$s (el$\rho$). Además, la estructura del índice en$e^{ijk}e^*_{ijk}$en$G$se traduciría a una estructura de índice de la$C$coincidiendo exactamente con el de la$3jm$en un$6j$símbolo.

Pero antes de resolver eso, ¿alguien puede decirme si este es el camino correcto o si destrocé algo en el camino (aún no me siento lo suficientemente cómodo con mis habilidades como para confiar plenamente en mi razonamiento cuando me lleva a una respuesta cuya forma no ya saben)? ¿O tal vez debería llevar esto a los matemáticos, ya que la respuesta parece ser puramente teórica de grupos hasta ahora?