¿Cambia la forma del multiplete de fermiones con la representación de la simetría de calibre?

Sí, todo lo que has escrito es correcto.

Por definición , una representación es un espacio vectorial$V$de una dimensión particular sobre la que el grupo actúa por transformaciones lineales$\rho: G\to\mathrm{GL}(V)$. Cuando decimos que cierto objeto como$\psi$"se transforma en la representación$V$", entonces queremos decir que$\psi$ es un elemento de$V$. Entonces, dado que la representación fundamental de$\mathrm{SU}(N)$es el espacio$\mathbb{C}^N$con$\mathrm{SU}(N)$actuando como las matrices unitarias especiales,$\psi$en lo fundamental puede escribirse como sus componentes$(\psi_1,\dots,\psi_N)$después de una elección de base. Asimismo, la representación adjunta está dada por el álgebra de Lie con la acción como acción adjunta - por$\mathrm{SU}(N)$, es$N^2-1$dimensional, por lo que después de elegir la base, puede escribir$\psi$como sus componentes$(\psi_1,\dots,\psi_{N^2-1})$.

Tenga en cuenta, sin embargo, que el$\psi_i$ellos mismos pueden no ser meros números, sino elementos de representaciones de otros grupos. un fermión$\psi$ también se transforma en una representación de giro del grupo de Lorentz, por lo que cada uno de los$\psi_i$ también tiene componentes de Lorentz$\psi_i^\mu$. Y posiblemente incluso más índices si hay más grupos bajo los cuales se transforma de manera no trivial. Formalmente, si tenemos grupos$G_1,\dots,G_k$bajo el cual$\psi$se transforma en las representaciones$V_1,\dots,V_k$, es en conjunto un elemento del producto tensorial$V_1\otimes\dots\otimes V_k$.

Tienes razón y estas diferentes representaciones son cruciales para la física de partículas. Para "encajar" estos grupos y álgebras con las teorías físicas se tiene que adoptar una representación particular y esto en realidad define los estados que se transforman entre sí según ese grupo.

por ejemplo, el$SU(3)$tiene representaciones irreducibles de dimensión 1, 3, 6, 8, etc. Digamos que este grupo está asociado a la simetría del color local. Entonces, si elegimos que el campo de fermiones esté en el triplete (tridimensional), significa que aparecen en tres estados, azul, verde y rojo, que se mezclan por transformaciones de calibre. Esta representación es adecuada para describir los quarks. Por otro lado, si elegimos que el campo de fermiones sea un singlete de$SU(3)$color (unidimensional) no se transformará bajo este grupo, lo que físicamente significa que no interactúa a través de interacciones fuertes. Por lo tanto, esto puede ser un leptón, como el electrón.