Campos de indicadores y cadenas: ecuaciones de bucle

1. Comenzamos con una teoría de norma no abeliana. La derivada covariante es

   $$D~=~\mathrm{d}+A, \qquad A~=~\mathrm{d}x^{\mu} A_{\mu},\tag{A}$$ mientras que la intensidad de campo es $$\begin{align} \frac{1}{2}F_{\mu\nu}\mathrm{d}x^{\mu}\wedge\mathrm{d}x^{\nu} ~=~&F~=~D \wedge D\cr ~=~&\frac{1}{2}[D\stackrel{\wedge}{,}D]\cr ~=~&[\mathrm{d},A] + \frac{1}{2}[A\stackrel{\wedge}{,}A]\cr ~=~&\mathrm{d}A + A \wedge A, \end{align} \tag{6.35}$$ $$F_{\mu\nu}~=~\partial_{[\mu}A_{\nu]} + [A_{\mu},A_{\nu}]. \tag{6.36}$$

2. A continuación, considere una línea de Wilson no abeliana$^1$

   $$U(t_2,t_1)~=~ \left\{\begin{array}{rcl} T\exp\left(-\int_{t_1}^{t_2}\! A\right)&{\rm for}& t_1\leq t_2,\cr AT\exp\left(-\int_{t_1}^{t_2}\! A\right)&{\rm for}& t_2\leq t_1,\end{array}\right. \tag{7.1'}$$ sobre una curva (posiblemente abierta)$C$. Aquí$(A)T$denota (anti)ordenación del tiempo . Supongamos por simplicidad a partir de ahora que$t_1\leq t_2$. Entonces podemos escribir $$U(C)~=~T\exp\left(-\int_C\! A\right) \tag{7.1'}$$ con una curva parametrizada$C:[t_1,t_2]\to\mathbb{R}^4$.

   La línea de Wilson (7.1') es la solución a la siguiente ODE

   $$\begin{align} \frac{dU(t_2,t_1)}{dt_2} ~=~&-\dot{x}^{\mu}(t_2) A_{\mu}(t_2) U(t_2,t_1), \cr \frac{dU(t_2,t_1)}{dt_1} ~=~&U(t_2,t_1)\dot{x}^{\mu}(t_1) A_{\mu}(t_1),\cr U(t_1,t_1)~=~&{\bf 1}.\end{align}\tag{B}$$

3. Ahora hacemos una variación infinitesimal de la curva$C$a una nueva curva$C^{\prime}$. La curva variada$C^{\prime}$se supone que tiene los mismos puntos finales que$C$, y el mismo intervalo de parametrización$[t_1,t_2]$. Podemos definir una 2 superficies infinitesimalmente delgada$\Sigma$con límite orientado

   $$\partial \Sigma~=~ C^{\prime}-C \tag{C}$$ dada por las dos curvas$C$y$C^{\prime}$. Esto induce un cambio (pasivo)$\delta A$del campo de medida$A$.

   NB: Tenga en cuenta que los 2 lados

   $$\int_{C}\! \delta A ~=~ \int_{C^{\prime}}\! A-\int_{C} \!A ~=~ \oint_{\partial\Sigma} \!A ~=~ \iint_{\Sigma}\! \mathrm{d} A \tag{D}$$ y $$\iint_{\Sigma}\! F ~=~ \int_C\! \delta x^{\mu} F_{\mu\nu} \mathrm{d} x^{\nu} \tag{E}$$ del teorema de circulación de Stokes no son necesariamente iguales para campos de norma no abelianos.$^2$

4. El cambio infinitesimal (pasivo) en la holonomía es

   $$\begin{align} \delta U(C)~=~~~~&U(C^{\prime})-U(C)\cr ~\stackrel{(7.1')}{=}~~&-T\left[\exp\left(-\int_C\! A\right)\int_C\! \delta A\right]\cr ~\stackrel{(7.1')}{=}~~&-\int_{t_1}^{t_2}\! dt~U(t_2,t)\delta[\dot{x}^{\mu}(t)A_{\mu}(t)]U(t,t_1)\cr ~=~~~~&-\int_{t_1}^{t_2}\! dt~U(t_2,t)\left[\frac{d\delta x^{\mu}(t)}{dt}A_{\mu}(t)+\dot{x}^{\mu}(t)\delta A_{\mu}(t)\right]U(t,t_1)\cr ~\stackrel{\text{int. by parts}}{=}& \text{bulk terms} ~+~ \text{boundary terms},\end{align}\tag{F}$$ dónde $$\begin{align} \text{bulk}&\text{ terms}\cr ~=~&\int_{t_1}^{t_2}\! dt~U(t_2,t)\left[ \frac{\stackrel{\leftarrow}{d}}{dt}\delta x^{\mu}(t)A_{\mu}(t) +\delta x^{\mu}(t)\dot{A}_{\mu}(t)\right.\cr &\left. -\dot{x}^{\mu}(t)\delta A_{\mu}(t) +\delta x^{\mu}(t)A_{\mu}(t)\frac{\stackrel{\rightarrow}{d}}{dt} \right]U(t,t_1)\cr ~\stackrel{(B)}{=}~&\int_{t_1}^{t_2}\! dt~U(t_2,t)\left[ \dot{x}^{\nu}(t) A_{\nu}(t)\delta x^{\mu}(t)A_{\mu}(t) +\delta x^{\mu}(t)\dot{x}^{\nu}(t)\partial_{\nu}A_{\mu}(t)\right.\cr &\left. -\dot{x}^{\mu}(t)\delta x^{\nu}(t)\partial_{\nu} A_{\mu}(t) -\delta x^{\mu}(t)A_{\mu}(t)\dot{x}^{\nu}(t) A_{\nu}(t) \right]U(t,t_1)\cr ~\stackrel{(6.36)}{=}&\int_{t_1}^{t_2}\! dt~U(t_2,t) \dot{x}^{\mu}(t) F_{\mu\nu}(t)\delta x^{\nu}(t) U(t,t_1)\cr ~=~&T\left[\exp\left(-\int_C\! A\right) \int_C\! F_{\mu\nu}\mathrm{d}x^{\mu} \delta x^{\nu}\right] \cr ~\stackrel{(E)}{=}~&-T\left[\exp\left(-\int_C\! A\right) \iint_{\Sigma}\! F\right] ,\end{align}\tag{7.25'}$$
   y $$\begin{align} \text{boundary terms}~=~&-\left[U(t_2,t)\delta x^{\mu}(t)A_{\mu}(t)U(t,t_1)\right]_{t=t_1}^{t=t_2}\cr ~=~& U(t_2,t_1)\delta x^{\mu}(t_1)A_{\mu}(t_1) -\delta x^{\mu}(t_2)A_{\mu}(t_2)U(t_2,t_1)\cr ~\stackrel{(H)}{=}~&0,\end{align}\tag{G}$$ ya que los puntos finales no son variados $$\delta x^{\mu}(t_1)~=~0~=~\delta x^{\mu}(t_2).\tag{H}$$ ecuación (7.25') responde la pregunta principal de OP sobre la ec. (7.25). Los signos menos son causados ​​por diferentes convenciones de signos.

Referencias:

1. AM Polyakov, Gauge Fields and Strings, 1987; Capítulo 7.

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$^1$Una línea de Wilson es la jerga de la física para la holonomía . Si la curva$C$está cerrado, hablamos de un bucle de Wilson en lugar de una línea de Wilson. Preferimos usar el ordenamiento por tiempo en lugar del ordenamiento por trayectoria, ya que este último es ambiguo. Árbitro. 1. utiliza una ruta de ordenación $P$de izquierda a derecha,

$$\Psi(C)~:=~ P e^{\int_{C} \!A}, \tag{7.1}$$

que induce un signo opuesto delante del campo de calibre$A$en comparación con la ec. (7.1').

$^2$Mencionemos para completar que existe un teorema de Stokes no abeliano , que toma una forma exponencial

$$P\exp\oint_{\partial\Sigma} \! A~=~ P_2\exp\iint_{\Sigma}\! F. \tag{I}$$

Depende de la elección del orden de la superficie.$P_2$.

Considere el factor de fase no abeliano alrededor de un camino cerrado$C$,

$$\begin{equation} \psi(C) = \mathrm{P} e^{\oint A_\mu dx^\mu} = \mathrm{P} e^{\int_0^{2\pi} dt \, A_\nu(x(t)) \dot{x}^\nu(t) } \end{equation}$$ Tomamos la derivada funcional con respecto a $x^\mu(s)$ $$\begin{align} \frac{\delta}{\delta x^\mu(s)} \psi(C) %& = \int_0^{2\pi} dt \, \mathrm{P} \left[ \partial_\mu A_\nu(x(t))\delta(s-t)\dot{x}^\nu(t) + A_\nu (x(t))\delta^\nu_\mu \dot{\delta}(s-t) \right] e^{\int_0^{2\pi} dt \, A_\nu(x(t)) \dot{x}^\nu(t) } \\ & = \int_0^{2\pi} dt \, \left\{ \mathrm{P}e^{\int_0^{t} dt' \, A_\nu\dot{x}^\nu} \left[ \partial_\mu A_\nu(x(t))\delta(s-t)\dot{x}^\nu(t) + A_\mu (x(t))\dot{\delta}(s-t)\right] \mathrm{P}e^{\int_t^{2\pi} dt' \, A_\nu \dot{x}^\nu} \right\} \end{align}$$ Ahora integramos por partes el $t$-derivada de la función delta, $$\begin{align} \frac{\delta}{\delta x^\mu(s)} \psi(C) & = \int_0^{2\pi} dt \, \mathrm{P}e^{\int_0^{t} dt' \, A_\nu\dot{x}^\nu} \left(\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu + [A_\mu, A_\nu]\right)_{x(t)} \dot{x}^\nu(t)\delta(s-t) \mathrm{P}e^{\int_t^{2\pi} dt' \, A_\nu\dot{x}^\nu} \notag \\ & \quad + \mathrm{P} e^{\int_0^{2\pi} dt A_\nu \dot{x}^\nu}A_\mu(x(2\pi))\delta(s-2\pi) - A_\mu(x(0))\mathrm{P} e^{\int_0^{2\pi} dt A_\nu \dot{x}^\nu}\delta(s) \\ & = \mathrm{P}e^{\int_0^{s} dt \, A_\nu\dot{x}^\nu} F_{\mu\nu}(x(s)) \dot{x}^\nu(s)\mathrm{P}e^{\int_s^{2\pi} dt \, A_\nu\dot{x}^\nu} \end{align}$$ donde hemos descartado términos de contorno por periodicidad.