Derivación funcional de la holonomía

Question

Derivación funcional de la holonomía

Física
yang-mills
wilson-loop
teoría de calibre
teoría de grupos
derivados funcionales

cuchillos

Quisiera saber como sacar la derivada funcional de la holonomia, o linea de Wilson. Lo he probado y muestro lo que he hecho a continuación, pero antes quería decir que también lo he visto y lo he hecho con la ecuación deiferencial característica para la holonomía.

\frac{\partial tu}{\partial s} + {\dot{γ}}^{a} A_{a} tu = 0

$\frac{\partial U}{\partial s}+\dot{\gamma}^a A_{a} U=0$ con

\dot{γ}

$\dot{\gamma}$ un vector tangente a la curva y

A

$A$ la conexión. Variando esta ecuación puedo encontrar lo que

\frac{δ U}{δ A}

$\frac{\delta U}{\delta A}$ es, pero me gustaría saber cómo hacerlo a partir de la expresión para

U

$U$

tu = PAG Exp [- \int_{γ} {\dot{γ}}^{a} (s) A_{a} (γ (s)) d s]

$U=\mathcal{P}\exp \left[ -\int_{\gamma} \dot{\gamma}^a(s) A_a(\gamma(s)) ds \right]$ con

{\dot{γ}}^{a} = \frac{d x^{a}}{d s}

$\dot{\gamma}^a=\frac{dx^a}{ds}$ como antes. Ahora he tratado de variar directamente esto con respecto a

A_{b}

$A_b$

\frac{d tu}{d A_{b} (X)} = PAG Exp [- \int_{γ} {\dot{γ}}^{a} A_{a} d s] \cdot \frac{d}{d A_{b}} [- \int_{γ} {\dot{γ}}^{a} A_{a} d s] .

$\frac{\delta U}{\delta A_b(x)}=\mathcal{P} \exp \left[ -\int_{\gamma} \dot{\gamma}^a A_a ds \right] \cdot \frac{\delta}{\delta A_b}\left[ -\int_{\gamma} \dot{\gamma}^a A_a ds \right].$ Ahora si

A_{a} = A_{a}^{i} τ^{i}

$A_a=A_{a}^{i}\tau^i$ entonces

\frac{d}{d A_{b}^{i}} [- \int_{γ} {\dot{γ}}^{a} A_{a}^{j} τ^{j} d s] = - \int_{γ} {\dot{γ}}^{a} d_{a b} d_{i j} d^{3} (γ (s) - X) τ^{j} d s = - \int_{γ} {\dot{γ}}^{b} d^{3} (γ (s) - X) τ^{j} d s .

$\frac{\delta}{\delta A_{b}^i }\left[ -\int_{\gamma} \dot{\gamma}^a A_{a}^j \tau^j ds \right]=-\int_{\gamma} \dot{\gamma}^a \delta _{ab}\delta_{ij} \delta^3(\gamma(s)-x) \tau^j ds=-\int_{\gamma}\dot{\gamma}^b \delta^3(\gamma(s)-x) \tau^j ds.$ Así que termino con

\frac{d tu}{d A_{b}^{j}} = tu (γ) [- \int_{γ} {\dot{γ}}^{b} d^{3} (γ (s) - X) τ^{j} d s]

$\frac{\delta U}{\delta A_{b}^j}=U(\gamma)\left[ -\int_{\gamma}\dot{\gamma}^b \delta^3(\gamma(s)-x) \tau^j ds \right]$ Lo cual no está bien. ¿Puede alguien señalarme en una mejor dirección?

Respuestas (2)

Derivación funcional de la holonomía

qmecanico · Answer 1

Escribamos la línea de Wilson de una curva abierta simple $\gamma: [s_i,s_f]\to \mathbb{R}^4$ como
$\begin{matrix} (1) & tu (s_{F}, s_{i}) = PAG Exp [i \int_{γ} A_{m} d X^{m}] . \end{matrix}$ $U(s_f,s_i) ~=~ \mathcal{P}\exp \left[ i\int_{\gamma} A_{\mu}~ dx^{\mu} \right].\tag{1}$
El ordenamiento de caminos $\mathcal{P}$ se vuelve importante si el potencial del calibre
$\begin{matrix} (2) & A_{m} = A_{m}^{a} T_{a} \end{matrix}$ $A_{\mu}~=~A^a_{\mu} T_a\tag{2}$ es no abeliano. Aquí $T_a$ son los generadores del álgebra de Lie correspondiente.
La línea de Wilson tiene propiedades grupoides , por ejemplo,
$\begin{matrix} (3) & tu (s_{3}, s_{2}) tu (s_{2}, s_{1}) = tu (s_{3}, s_{1}), tu (s, s) = 1 . \end{matrix}$ $U(s_3,s_2)U(s_2,s_1)~=~ U(s_3,s_1), \qquad U(s,s) ~=~ {\bf 1}.\tag{3}$
Si uno diferencia wrt. el punto final $s_f$ , uno obtiene
$\begin{matrix} (4) & \frac{d tu (s_{F}, s_{i})}{d s_{F}} = i {\dot{γ}}^{m} (s_{F}) A_{m} (γ (s_{F})) tu (s_{F}, s_{i}) . \end{matrix}$ $\frac {dU(s_f,s_i)}{ds_f} ~=~ i\dot{\gamma}^{\mu}(s_f)~A_{\mu}(\gamma(s_f)) ~U(s_f,s_i). \tag{4}$
Si uno diferencia wrt. el punto inicial $s_i$ , uno obtiene
$\begin{matrix} (5) & \frac{d tu (s_{F}, s_{i})}{d s_{i}} = - tu (s_{F}, s_{i}) i {\dot{γ}}^{m} (s_{i}) A_{m} (γ (s_{i})) . \end{matrix}$ $\frac {dU(s_f,s_i)}{ds_i} ~=~ -U(s_f,s_i)~i\dot{\gamma}^{\mu}(s_i)~A_{\mu}(\gamma(s_i)) . \tag{5}$
OP quiere diferenciar la línea Wilson $U(s_f,s_i)$ funcionalmente escrito. los componentes potenciales de calibre $A^a_{\mu}(x)$ . uno obtiene
$\begin{matrix} (6) & \frac{d tu (s_{F}, s_{i})}{d A_{m}^{a} (X)} = \int_{s_{i}}^{s_{F}} d s tu (s_{F}, s) i {\dot{γ}}^{m} (s) d^{4} (X - γ (s)) T_{a} tu (s, s_{i}) . \end{matrix}$ $\frac {\delta U(s_f,s_i)}{\delta A^a_{\mu}(x)} ~=~\int_{s_i}^{s_f}\! ds~ U(s_f,s)~ i\dot{\gamma}^{\mu}(s)\delta^4(x-\gamma(s))T_a~U(s,s_i). \tag{6}$
Prueba heurística de (6). Como ya hemos usado la letra $x\in\mathbb{R}^4$ en (6) como un punto de espacio-tiempo fijo, llamemos a un punto de espacio-tiempo arbitrario para $y\in\mathbb{R}^4$ .
- Imagina eso $\tilde{A}(y)=A(y)+\delta A(y)$ es una variación infinitesimal del potencial de calibre $A(y)$ .
- Imagina eso $\delta A(y)$ solo difiere de cero en una vecindad infinitesimalmente pequeña $\Omega$ del punto fijo del espacio-tiempo $x$ .
- Suponga que la curva $\gamma$ cruza el barrio $\Omega$ en el intervalo de valor del parámetro $[s_x-\varepsilon,s_x+\varepsilon]\subseteq [s_i,s_f]$ . (Si la curva $\gamma$ no cruza el vecindario $\Omega$ , entonces la ecuación (6) se vuelve trivialmente correcta: $0=0$ .)
Por un lado, tal variación infinitesimal del potencial de calibre produce

$\begin{matrix} (7) & δ U (s_{f}, s_{i}) = U (s_{f}, s_{x} + ε) δ U (s_{x} + ε, s_{x} - ε) U (s_{x} - ε, s_{i}), \end{matrix}$
y $\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} d tu (s_{X} + ε, s_{X} - ε) \approx & 2 ε i {\dot{γ}}^{m} (s_{X}) d A_{m} (γ (s_{X})) \\ = & \int_{Ω} d^{4} y d^{4} (y - γ (s_{X})) 2 ε i {\dot{γ}}^{m} (s_{X}) d A_{m} (y) \\ \approx & \int_{Ω} d^{4} y \int_{s_{X} - ε}^{s_{X} + ε} d s d^{4} (y - γ (s)) i {\dot{γ}}^{m} (s) d A_{m} (y) . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align}\delta U(s_x+\varepsilon,s_x-\varepsilon)~\approx~&2\varepsilon i~ \dot{\gamma}^{\mu}(s_x)~\delta A_{\mu}(\gamma(s_x)) \cr ~=~&\int_{\Omega} \!d^4y~\delta^4(y-\gamma(s_x))~2\varepsilon i\dot{\gamma}^{\mu}(s_x)~\delta A_{\mu}(y)\cr ~\approx~& \int_{\Omega} \!d^4y~\int_{s_x-\varepsilon}^{s_x+\varepsilon}\! ds~\delta^4(y-\gamma(s))~i\dot{\gamma}^{\mu}(s)~\delta A_{\mu}(y).\end{align}\tag{8}$ Por otro lado, la propiedad definitoria de un derivado funcional produce $\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} d tu (s_{F}, s_{i}) = & \int_{R^{4}} d^{4} y \frac{d tu (s_{F}, s_{i})}{d A_{m}^{a} (y)} d A_{m}^{a} (y) \\ = \int_{Ω} d^{4} y \frac{d tu (s_{F}, s_{i})}{d A_{m}^{a} (y)} d A_{m}^{a} (y) . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align}\delta U(s_f,s_i) ~=~&\int_{\mathbb{R}^4} \!d^4y~ \frac {\delta U(s_f,s_i)}{\delta A^a_{\mu}(y)} ~\delta A^a_{\mu}(y)\cr &~=~\int_{\Omega} \!d^4y~ \frac {\delta U(s_f,s_i)}{\delta A^a_{\mu}(y)} ~\delta A^a_{\mu}(y).\end{align}\tag{9}$ Una comparación de las ecs. (7), (8) y (9) produce eq. (6).

Estoy trabajando en cómo ver claramente que la holonomía se divide en dos en el punto donde actúa la derivada funcional, estoy revisando la definición de la exponencial ordenada, ¿tiene algún consejo o pista sobre cómo podemos ver este desglose de esa definicion? Gracias.

Naima · Answer 2

Lewandowski, Newman y Rovelli dieron todos los detalles en un artículo de 1993 "Variaciones del propagador paralelo y el operador de holonomía y la restricción de la ley de Gauss". Tenemos

d tu (X (s), X_{i}) / d s + \dot{γ} (s) A (s) tu (X (s), X_{i}) = 0 (1)

$d U(x(s),x_i)/ds + \dot \gamma (s)A(s) U(x(s),x_i) = 0 \ (1)$ Rendimientos diferenciadores

d d tu (X (s), X_{i}) / d s + \dot{γ} (s) A (s) d tu (X (s), X_{i}) = - d (\dot{γ} (s) A (s)) tu (X (s), X_{i})

$d \delta U(x(s),x_i)/ds + \dot \gamma (s)A(s) \delta U(x(s),x_i) = -\delta(\dot \gamma (s)A(s))U(x(s),x_i)$ Ahora el ansatz es escribir

δ U = U Λ

$\delta U = U \Lambda$ usando (1) tenemos:

tu (X (s), X_{i}) \dot{Λ} = - d (\dot{γ} (s) A (s)) tu (X (s), X_{i})

$U(x(s),x_i) \dot \Lambda = -\delta(\dot \gamma (s)A(s))U(x(s),x_i)$ Como la inversa de U(a,b) es U(b,a) tenemos que resolver

\dot{Λ} = - tu (X_{i}, X (s)) d (\dot{γ} (s) A (s)) tu (X (s^{'}), X_{i})

$\dot \Lambda = - U(x_i,x(s))\delta(\dot \gamma (s)A(s))U(x(s'),x_i)$ entonces

δ U (x (s), x_{i}) = U (x (s), x_{i}) Λ =

$\delta U(x(s),x_i) = U(x(s),x_i) \Lambda =$

= tu (X (s), X_{i}) \int_{s_{i}}^{s} tu (X_{i}, X^{'}) d (\dot{γ} (s^{'}) A (s^{'})) tu (X (s^{'}), X_{i}) d s^{'}

$= U(x(s),x_i) \int^s_{s_i}U(x_i,x')\delta(\dot \gamma (s')A(s'))U(x(s'),x_i) ds'$

= \int_{s_{i}}^{s} tu (X (s), X^{'}) d (\dot{γ} (s^{'}) A (s^{'})) tu (X (s^{'}), X_{i}) d s^{'}

$= \int^s_{s_i}U(x(s),x')\delta(\dot \gamma (s')A(s'))U(x(s'),x_i) ds'$ Obtenemos una fórmula que nos permite variar la conexión A, o la curva (un bucle es un caso peculiar). el resultado se verá como una matriz de Pauli o algo más intercalado entre los dos Nosotros. Se parece a la regla del producto de derivación. (abcd..)' = a'bcd.. +ab'cd.. + abc'd.. + abcd'.. + ...

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cuchillos

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qmecanico

Saoirse

Naima

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