Actualmente estoy tratando de entender la teoría 2D de Yang-Mills, y parece que no puedo encontrar una explicación para el cálculo del valor esperado de la intersección de los bucles de Wilson. En su Sobre las teorías de calibre cuántico en dos dimensiones , Witten realiza un cálculo curioso:
Para tres repeticiones , fijamos una base del espacio del producto tensorial perteneciente a llamado ( indexa el -ésimo vector base, el son los índices de las repeticiones originales) con la propiedad de que
Una pregunta menor es por qué esto es posible: estaría bien si aceptara que siempre puedo encontrar algunos vectores que cumplan con esa relación, pero ¿por qué son una base?
La parte real que no entiendo viene ahora: Por lo anterior, cada borde de una plaqueta lleva unos , y en un cruce de dos líneas, tenemos así cuatro de estas viniendo de los bordes, y otras cuatro repeticiones (j va del 1 al 4) pertenecientes a las propias plaquetas. Sin ningún cálculo explícito, Witten ahora simplemente dice que después de sumar los sobre todos sus índices (como requiere la descomposición de una traza de antemano), obtenemos un factor local asociado a este vértice , que es el símbolo 6j Wigner (pero no se detendrá para mostrar por qué). No puedo encontrar ninguna fuente que explique esa relación, es decir, muestre por qué obtenemos precisamente los símbolos 6j en este cálculo (aunque su conexión con el asociador del producto tensorial hace plausible que lo hagamos). La verdadera pregunta es: el símbolo 6j de qué asociador es este, y ¿cómo se haría y probaría esto?
Estaría muy agradecido a cualquiera que me pueda explicar esto o dirigirme a una referencia donde se discuta esto con más detalle.
Considere las representaciones unitarias de dimensión finita del grupo compacto dado en espacios vectoriales correspondientes . Dejar sea una base ortonormal de dónde . Entonces forma una base ortonormal de . Un elemento actúa sobre el espacio del producto tensorial como
También podemos encontrar una base ortogonal (dónde ) de con respecto al cual todos los elementos actúan como matrices diagonales de bloques. Más precisamente, supongamos con respecto a la base , la acción de un elemento en ser denotado como
actuando con en ambos lados de esta ecuación da
Tomando el producto escalar con y usando (3) obtenemos
Ahora, de acuerdo con el teorema de Peter-Weyl (parte 2) , los elementos de la matriz de las representaciones irreducibles de forman una base ortogonal del espacio de funciones cuadradas integrables en escribir el producto interno
dónde es la medida de Haar. Entonces, si integramos ambos lados de (5), la contribución distinta de cero en RHS solo provendrá de la parte de que es la suma directa de las representaciones de identidad. En otras palabras, deja ser el subespacio de en la que actúa trivialmente, y deja ser la base de , entonces la integración de (5) da
donde hemos supuesto que
Para la segunda parte de su pregunta, recomendaría estas notas de clase . La idea básica para calcular los promedios de bucle de Wilson es la siguiente:
Para una superficie con límite, la función de partición de la teoría bidimensional de Yang-Mills depende de la holonomía a lo largo del límite. Sea la función de partición de una superficie de género y un límite se denotará como dónde es la holonomía fija a lo largo del límite dado, es el área de la superficie y es la constante de acoplamiento de Yang-Mills. Ahora, considere la situación más simple en la que un bucle de Wilson en representación se inserta a lo largo de un bucle contráctil sobre una superficie cerrada de género y área . Para calcular el promedio del bucle de Wilson, primero cortamos la superficie a lo largo , que da un disco de área (digamos) y otra superficie de área , género y un límite. Ahora, el promedio del bucle de Wilson se obtiene integrando sobre el producto de i) las funciones de partición de ii) función de partición de y iii) la traza del bucle de Wilson en representación -
El caso de un bucle de Wilson que se corta a sí mismo tampoco es muy diferente.
Los bloques más pequeños forman representaciones irreductibles de ; Exactamente qué representaciones irreducibles aparecerán dependerá de ; Las mismas representaciones irreductibles también pueden aparecer más de una vez
una mente curiosa
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