El signo del determinante del tensor de deformación y lo que significa

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Actualmente me estoy abriendo camino a través de Milton y Cherkaev, "¿ Qué tensores de elasticidad son realizables? " como parte de mi investigación. Provengo de una formación en ingeniería eléctrica, así que diría que mi álgebra lineal es adecuada como ingeniero, pero he estado aprendiendo ingeniería mecánica, mecánica continua, etc. el año pasado.

Milton se esfuerza mucho en el inicio de la Sección 2 para hablar sobre los materiales extremos en términos de los valores propios de la matriz de elasticidad, pero luego pasa a discutir los valores propios/vectores del tensor de deformación en la Sección 2.1 . Luego dice que para un tensor de deformación

ϵ = − C ( 0 1 1 0 )
el "determinante no es negativo", lo cual es un error tipográfico porque el determinante es definitivamente negativo dado d mi t ( k A ) = k norte d mi t ( A ) para k ∈ R y A ∈ R norte × norte .

Además del error tipográfico, enfatiza que el signo del determinante del tensor de deformación es la "característica significativa" y luego comienza una discusión sobre cómo encontrar un material que soporte una deformación con un determinante positivo.

Mi pregunta es : ¿Cuál es la percepción física sobre el impacto del signo del determinante del tensor de deformación y por qué es la "característica significativa" para Milton? Tengo una idea de lo que significa un determinante negativo en general (es decir, cambiar la orientación), pero toda la intuición física desaparece aquí cuando Milton enfatiza esta característica. ¿Qué tiene la tensión de corte pura que "cambia" la orientación y de qué orientación estoy hablando?

PD: También tengo alrededor de un millón de otras preguntas en este mismo documento si alguien tiene tiempo para hablar directamente o está dispuesto a comunicarse conmigo sobre esto.

Tenga cuidado con la notación y la terminología. Está hablando del "tensor de elasticidad" (que personalmente llamaría tensor de cumplimiento), pero luego representa un caso especial de ese tensor de cuarto orden como una matriz de 3x3. En ese momento perdí la voluntad de desenredar cada detalle del papel.
@alephzero, este tensor se denomina comúnmente "tensor de rigidez", el tensor de cumplimiento es el inverso de este. Ese es el que asigna tensiones a deformaciones. Además, en la sección 2.1, el tensor al que se refiere OP es el tensor de deformación y no el tensor de rigidez.
@DanielRevier, hay varios mecánicos que cuelgan en Twitter (incluido yo mismo) si quieres discutir sobre cosas.
@nicoguaro Gracias por la invitación. Te encontré en Twitter hoy, así que si puedes recomendarme a otros a seguir, te lo agradecería.

Respuestas (2)

Ha pasado un tiempo desde que leí ese documento, pero al echarle un vistazo, diría que el error tipográfico no está diciendo "no negativo" sino al decir "determinante". Supongo que los autores querían decir "rastreo" en su lugar.

Déjame explicarte por qué. Como se menciona en otra respuesta, el determinante del gradiente de deformación representa el cambio de volumen y no debería ser negativo.

Podemos expresar el nuevo diferencial de volumen como

d V ′ = d V ( 1 + ϵ 1 ) ( 1 + ϵ 2 ) ( 1 + ϵ 3 ) ,

dónde ϵ i son los valores propios del tensor de deformación. Si ignoramos los términos de orden superior, se traduce en

d V ′ = d V ( 1 + ϵ 1 + ϵ 2 + ϵ 3 ) ,

y ϵ 1 + ϵ 2 + ϵ 3 representa el cambio relativo de volumen

d V ′ − d V d V ,

y es igual a la traza del tensor.

Además, tenga en cuenta que en la oración anterior los autores enumeran los valores propios del tensor correctamente, ese es otro indicador.

Me inclinaría a estar de acuerdo con usted en el error tipográfico "determinante" frente a "rastreo", pero usan la palabra determinante varias veces a lo largo del documento. ecuación 2.5 tiene "determinante cero". Después de discutir el determinante negativo, quieren encontrar "materiales unimodales con deformaciones fáciles que tengan un determinante positivo".
Imaginar que usaron la palabra incorrecta repetidamente a lo largo del documento... Realmente espero por el bien de mi propia investigación que no hayan sido tan descuidados. :/
@DanielRevier, pero eq. 2.5, de hecho tiene determinante cero. Además, no es el tensor de deformación sino el tensor de tensión. Hay una dirección sin tensiones.
En la ec. 2.9 sí se refieren al determinante. Entonces, sí, creo que hay un error tipográfico en la parte específica que publicaste en la pregunta y después de ese determinante parece estar bien. Tenga en cuenta que al final lo que desea es encontrar los parámetros del tensor de rigidez. Entonces, está transformando un estado de estrés específico en un estado de tensión específico; ese es el trabajo del tensor de cumplimiento/rigidez.

Sabemos que el gradiente de deformación debe tener un determinante positivo porque el material no puede atravesarse a sí mismo. El determinante es igual a la relación entre los elementos de volumen infinitesimal deformados y no deformados. Si su determinante es cero, entonces un volumen (o área) se ha reducido a cero, lo que tampoco es físico. Sin embargo, en términos de tensión, el significado puede ser diferente. Mañana le echo un vistazo si tengo tiempo.

El signo del determinante del tensor de deformación y lo que significa
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