Tengo un volumen que se está deformando (usando un esquema explícito de integración de tiempo) uniformemente con gradiente de velocidad y tensor de tensión . Me gustaría determinar el trabajo realizado por la deformación del volumen durante un paso de tiempo , conociendo los valores actuales y anteriores de , y volumen .
He visto en alguna parte la fórmula , pero no sé si es correcto y cómo derivarlo. debería ser la densidad de energía, pero ¿por qué se descartan sus términos no diagonales?
Observación: el esquema de integración en realidad es un salto de rana, pero ignoré el negocio intermedio/en el paso por ahora y supuse que todo son valores en el paso. La fórmula anterior calcularía correctamente el incremento a mitad de paso, leyendo
La idea clave aquí es el concepto de medidas de tensión y velocidad de deformación "conjugadas de potencia". Para el estrés de Cauchy , la potencia de tensión viene dada por:
La cantidad da el poder de tensión por unidad de volumen. Por lo tanto, usando el esquema de integración de tiempo explícito:
La contracción del tensor se puede reescribir como . Esto se observa más fácilmente si lo resuelve en notación de índice:
Debido a la simetría del tensor de tensión, en realidad no es necesario calcular explícitamente porque .
En resumen, los términos fuera de la diagonal del tensor de tensión tienen en cuenta la nueva energía, pero no es obvio debido a la forma en que la fórmula evalúa el poder de la tensión.