¿El rango de una matriz es el mismo de su transpuesta? En caso afirmativo, ¿cómo puedo demostrarlo?

La respuesta es sí. Esta declaración a menudo se conoce con el nombre de "rango de fila igual a rango de columna". Sabiendo eso, es fácil buscar pruebas en Internet.

Además, cualquier texto de álgebra lineal de buena reputación debería probar esto: de hecho, es un resultado bastante importante.

Finalmente, dado que usted dijo que solo tenía un profesor suplente, no lo criticaré, pero esto sería una angustiosa laguna de conocimiento para alguien que es un profesor habitual de álgebra lineal.

Hay varias demostraciones simples de este resultado. Desafortunadamente, la mayoría de los libros de texto utilizan un enfoque bastante complicado que utiliza formas escalonadas reducidas por filas. Consulte algunas pruebas elegantes en la página de Wikipedia (aportadas por mí mismo):

http://en.wikipedia.org/wiki/Rank_%28linear_algebra%29

o la página sobre factorización de rango:

http://en.wikipedia.org/wiki/Rank_factorization

Otro de mis favoritos es el siguiente:

Definir$\operatorname{rank}(A)$para significar el rango de columna de A:$\operatorname{col rank}(A) = \dim \{Ax: x \in \mathbb{R}^n\}$. Dejar$A^{t}$denote la transpuesta de A. Primero demuestre que$A^{t}Ax = 0$si y solo si$Ax = 0$. Esto es álgebra lineal estándar: una dirección es trivial, la otra se sigue de:

$$A^{t}Ax=0 \implies x^{t}A^{t}Ax=0 \implies (Ax)^{t}(Ax) = 0 \implies Ax = 0$$

Por lo tanto, las columnas de$A^{t}A$satisfacen las mismas relaciones lineales que las columnas de$A$. No importa que tengan diferente número de filas. Tienen el mismo número de columnas y tienen el mismo rango de columna. (Esto también se deduce del teorema de rango + nulidad, si lo ha probado de forma independiente (es decir, sin asumir rango de fila = rango de columna)

Por lo tanto,$\operatorname{col rank}(A) = \operatorname{col rank}(A^{t}A) \leq \operatorname{col rank}(A^{t})$. (Esta última desigualdad se sigue porque cada columna de$A^{t}A$es una combinación lineal de las columnas de$A^{t}$. Entonces,$\operatorname{col sp}(A^{t}A)$es un subconjunto de$\operatorname{col sp}(A^{t})$.) Ahora simplemente aplique el argumento a$A^{t}$para obtener la desigualdad inversa, demostrando$\operatorname{col rank}(A) = \operatorname{col rank}(A^{t})$. Desde$\operatorname{col rank}(A^{t})$es el rango de fila de A, hemos terminado.

Ya que habló sobre la forma escalonada de fila reducida, asumo que sabe qué son las operaciones elementales de fila y columna . El hecho básico relativo a estas operaciones es el siguiente:

Las operaciones elementales (fila o columna) no cambian ni el rango de fila ni el rango de columna de una matriz.

Ahora, dada una matriz distinta de cero$A$, intente lo siguiente:

1. Traer$A$a su forma escalonada reducida$R$usando operaciones elementales de fila.
2. Traer$R$a su forma escalonada de columnas reducida$B$utilizando operaciones elementales de columna.

Entonces$B$es de la forma

$$\begin{pmatrix} 1&&&0&\ldots&0\\ &\ddots&&\vdots&&\vdots\\ &&1&0&\ldots&0\\ 0&\ldots&0&0&\ldots&0\\ \vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&\ldots&0&0&\ldots&0\\ \end{pmatrix}.$$ Ahora es obvio que el rango de fila de $B$es igual al rango de columna de $B$(que es igual al número de unos en la "forma reducida escalonada de filas y columnas" anterior ). De ahí el rango de fila de $A$es igual al rango de columna de $A$, es decir, el rango de fila de $A$es igual al rango de fila de $A^T$.

Sí, es un hecho. Esto es cierto sobre cualquier campo conmutativo. Véase, por ejemplo, el primer capítulo de Emil Artin, Teoría de Galois para un argumento muy elemental.

Si necesita expresar ese argumento en términos más conceptuales, considere las matrices como transformaciones lineales. Si A es la matriz, entonces sea$A^t$sea ​​la transpuesta, y luego$A^tA$y$A$tienen el mismo dominio, y usan el hecho de que tienen el mismo espacio nulo, y usan el teorema de dimensión rango + nulidad = dimensión del espacio.

Su argumento es cierto solo para matrices reales. Para matrices complejas pueden no tener el mismo espacio nulo.

(1) Si$f:V\to W$es un mapa lineal y$f^*:W^*\to V^*$es su transpuesta, entonces tenemos un isomorfismo canónico

$$\text{Im}(f^*)=\text{Im}(f)^*.$$

Esto se puede ver de la siguiente manera:

(2) Si

$$V\ \overset{p}{\twoheadrightarrow}A\ \overset{i}{\rightarrowtail}\ W\quad\text{and}\quad V\ \overset{q}{\twoheadrightarrow}B\ \overset{j}{\rightarrowtail}\ W$$ son dos diagramas de aplicaciones lineales tales que

(a)$i$y$j$son inyectables,$p$y$q$son sobreyectivas,

(b)$i\circ p=j\circ q$,

entonces hay un único mapa lineal$\varphi:A\to B$tal que$\varphi\circ p=q$y$j\circ\varphi=i$. Además$\varphi$es biyectiva. La prueba es fácil.

Para probar que (2) implica (1), observe que los tres diagramas

$$V\ \overset{p}{\twoheadrightarrow}\ \text{Im}(f)\ \overset{i}{\rightarrowtail}\ W,$$ $$W^*\ \overset{i^*}{\twoheadrightarrow}\ \text{Im}(f)^*\ \overset{p^*}{\rightarrowtail}\ V^*,$$ $$W^*\ \overset{q}{\twoheadrightarrow}\ \text{Im}(f^*)\ \overset{j}{\rightarrowtail}\ V^*,$$ dónde $p,i,q,j$son los mapas obvios, satisfacen (a). Como $p^*\circ i^*=f^*=j\circ q$, vemos que (2) implica (1).

Asume el rango de$f:V\to W$es infinito. El Teorema de Erdős-Kaplansky implica entonces

$$\text{rank}(f^*)=|K|^{\text{rank}(f)},$$

dónde$K$es el campo de tierra y$|X|$es la cardinalidad de$X$para cualquier conjunto$X$.

Más precisamente, el teorema de Erdős-Kaplansky dice

$$\dim(V^*)=|K|^{\dim(V)}$$ cuando sea $V$es infinitamente dimensional, o, equivalentemente $$\dim(K^S)=|K^S|,$$ dónde $S$es un conjunto infinito y $K^S$es el conjunto de familias $(a_s)_{s\in S}$con $a_s$en $K$. En palabras:

La dimensión de un espacio vectorial dual de dimensión infinita es igual a su cardinalidad.

Para una demostración del teorema de Erdős-Kaplansky, consulte esta respuesta .