Menor bordeado y rango de una matriz

No sé qué es un "menor limítrofe". Esto no parece ser una palabra con un significado estándar. Sin embargo, aquí hay un teorema que es verdadero:

Teorema 1. Sea$\mathbf{k}$ser un campo. Dejar$A\in\mathbf{k}^{u\times v}$ser una matriz. A continuación, siempre que$i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}\in\left\{ 1,2,\ldots,u\right\}$y$j_{1},j_{2},\ldots,j_{\ell}\in\left\{ 1,2,\ldots,v\right\}$, lo denotaremos por$A\left[ \dfrac{j_{1} ,j_{2},\ldots,j_{\ell}}{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}}\right]$el$k\times\ell$-matriz cuya$\left( p,q\right)$-ésima entrada es la$\left( i_{p} ,j_{q}\right)$-ésima entrada de$A$para cada$\left( p,q\right) \in\left\{ 1,2,\ldots,k\right\} \times\left\{ 1,2,\ldots,\ell\right\}$.

Dejar$k\in\mathbb{N}$. Dejar$i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}\in\left\{ 1,2,\ldots ,u\right\}$y$j_{1},j_{2},\ldots,j_{k}\in\left\{ 1,2,\ldots,v\right\}$ser tal que$\det\left( A\left[ \dfrac{j_{1},j_{2},\ldots,j_{k}} {i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}}\right] \right) \neq0$. Suponga que cada$i^{\prime}\in\left\{ 1,2,\ldots,u\right\} \setminus\left\{ i_{1} ,i_{2},\ldots,i_{k}\right\}$y$j^{\prime}\in\left\{ 1,2,\ldots ,v\right\} \setminus\left\{ j_{1},j_{2},\ldots,j_{k}\right\}$satisfacer

(1) $\det\left( A\left[ \dfrac{j_{1},j_{2},\ldots,j_{k},j^{\prime} }{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k},i^{\prime}}\right] \right) =0$.

Entonces,$\operatorname*{rank}A=k$.

Prueba. Suponga lo contrario; es decir, suponga que$\operatorname*{rank}A\neq k$.

En primer lugar, observamos que los números$i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}$son distintos (porque de lo contrario, la matriz$A\left[ \dfrac{j_{1},j_{2},\ldots,j_{k} }{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}}\right]$tendría dos filas iguales, lo que produciría$\det\left( A\left[ \dfrac{j_{1},j_{2},\ldots,j_{k}}{i_{1} ,i_{2},\ldots,i_{k}}\right] \right) =0$, contradiciendo$\det\left( A\left[ \dfrac{j_{1},j_{2},\ldots,j_{k}}{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}}\right] \right) \neq0$). Del mismo modo, los números$j_{1},j_{2},\ldots,j_{k}$son distintos.

Las filas de la matriz$A\left[ \dfrac{j_{1},j_{2},\ldots,j_{k}}{i_{1} ,i_{2},\ldots,i_{k}}\right]$son linealmente independientes (ya que$\det\left( A\left[ \dfrac{j_{1},j_{2},\ldots,j_{k}}{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}}\right] \right) \neq0$). Por lo tanto, las filas de la matriz$A\left[ \dfrac{1,2,\ldots ,v}{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}}\right]$también son linealmente independientes (ya que las filas de la matriz$A\left[ \dfrac{j_{1},j_{2},\ldots,j_{k}}{i_{1} ,i_{2},\ldots,i_{k}}\right]$son fragmentos de las filas de la matriz$A\left[ \dfrac{1,2,\ldots,v}{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}}\right]$, y por lo tanto cualquier relación de dependencia lineal entre estos últimos produciría una relación de dependencia lineal entre los primeros). En otras palabras, el$i_{1}$-th, el$i_{2}$-th, etc., el$i_{k}$-ésimas filas de la matriz$A$son linealmente independientes. Por lo tanto, la matriz$A$tiene$k$filas linealmente independientes; de este modo,$\operatorname*{rank}A\geq k$. Combinado con$\operatorname*{rank}A\neq k$, esto produce$\operatorname*{rank}A>k$. Así, el espacio fila de$A$no se puede abarcar solo$k$de sus filas (porque si pudiera, entonces su dimensión sería$\leq k$, lo que contradiría el hecho de que su dimensión es$\operatorname*{rank}A>k$). Por lo tanto, existe al menos una$i^{\prime}\in\left\{ 1,2,\ldots,u\right\} \setminus\left\{ i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}\right\}$tal que el$i^{\prime}$-ésima fila de$A$no pertenece al lapso de la$i_{1}$-th, el$i_{2}$-th, etc., el$i_{k}$-ésimas filas de$A$. Arreglar tal$i^{\prime}$. Lo sabemos:

• El$i^{\prime}$-ésima fila de$A$no pertenece al lapso de la$i_{1}$-th, el$i_{2}$-th, etc., el$i_{k}$-ésimas filas de$A$.

• El$i_{1}$-th, el$i_{2}$-th, etc., el$i_{k}$-ésimas filas de$A$son linealmente independientes.

Combinando estos dos hechos, concluimos que$i_{1}$-th, el$i_{2}$-th, etc., el$i_{k}$-th, y el$i^{\prime}$-ésimas filas de$A$son linealmente independientes. En otras palabras, las filas de la matriz$A\left[ \dfrac{1,2,\ldots,v} {i_{1},i_{2},\ldots,i_{k},i^{\prime}}\right]$son linealmente independientes. Como esta matriz tiene$k+1$filas, concluimos que$\operatorname*{rank} \left( A\left[ \dfrac{1,2,\ldots,v}{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k},i^{\prime} }\right] \right) =k+1>k$. Por lo tanto, el espacio columna de$A\left[ \dfrac{1,2,\ldots,v}{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k},i^{\prime}}\right]$no se puede abarcar solo$k$de sus columnas (ya que si pudiera, entonces su dimensión sería$\leq k$, lo que contradiría la observación de que su dimensión es$\operatorname*{rank}\left( A\left[ \dfrac{1,2,\ldots,v}{i_{1} ,i_{2},\ldots,i_{k},i^{\prime}}\right] \right) >k$). Por lo tanto, existe al menos una$j^{\prime}\in\left\{ 1,2,\ldots,v\right\} \setminus\left\{ j_{1},j_{2},\ldots,j_{k}\right\}$tal que el$j^{\prime}$-ésima columna de$A\left[ \dfrac{1,2,\ldots,v}{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k},i^{\prime}}\right]$no pertenece al lapso de la$j_{1}$-th, el$j_{2}$-th, etc., el$j_{k}$-ésimas columnas de$A\left[ \dfrac{1,2,\ldots,v}{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k},i^{\prime}}\right]$. Arreglar tal$j^{\prime}$.

Por otro lado, las columnas de la matriz$A\left[ \dfrac{j_{1} ,j_{2},\ldots,j_{k}}{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}}\right]$son linealmente independientes (ya que$\det\left( A\left[ \dfrac{j_{1},j_{2},\ldots,j_{k} }{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}}\right] \right) \neq0$). En otras palabras, el$j_{1}$-th, el$j_{2}$-th, etc., el$j_{k}$-ésimas columnas de la matriz$A\left[ \dfrac{1,2,\ldots,v}{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}}\right]$son linealmente independientes. Por lo tanto, la$j_{1}$-th, el$j_{2}$-th, etc., el$j_{k}$-ésimas columnas de$A\left[ \dfrac{1,2,\ldots,v}{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k},i^{\prime}}\right]$son linealmente independientes (porque$j_{1}$-th, el$j_{2}$-th, etc., el$j_{k}$-ésimas columnas de la matriz$A\left[ \dfrac{1,2,\ldots,v}{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}}\right]$son fragmentos de la$j_{1}$-th, el$j_{2}$-th, etc., el$j_{k}$-ésimas columnas de$A\left[ \dfrac{1,2,\ldots,v}{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k},i^{\prime}}\right]$, y por lo tanto cualquier relación de dependencia lineal entre estos últimos produciría una relación de dependencia lineal entre los primeros). Ahora sabemos que:

• El$j^{\prime}$-ésima columna de$A\left[ \dfrac{1,2,\ldots,v}{i_{1} ,i_{2},\ldots,i_{k},i^{\prime}}\right]$no pertenece al lapso de la$j_{1}$-th, el$j_{2}$-th, etc., el$j_{k}$-ésimas columnas de$A\left[ \dfrac{1,2,\ldots,v}{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k},i^{\prime}}\right]$.

• El$j_{1}$-th, el$j_{2}$-th, etc., el$j_{k}$-ésimas columnas de$A\left[ \dfrac{1,2,\ldots,v}{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k},i^{\prime}}\right]$son linealmente independientes.

Combinando estos dos hechos, concluimos que el$j_{1}$-th, el$j_{2}$-th, etc., el$j_{k}$-th, y el$j^{\prime}$-ésimas columnas de$A\left[ \dfrac{1,2,\ldots,v}{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k},i^{\prime}}\right]$son linealmente independientes. En otras palabras, las columnas de la matriz$A\left[ \dfrac{j_{1},j_{2},\ldots,j_{k},j^{\prime}}{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k} ,i^{\prime}}\right]$son linealmente independientes. Por eso,$\det\left( A\left[ \dfrac{j_{1},j_{2},\ldots,j_{k},j^{\prime}}{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k} ,i^{\prime}}\right] \right) \neq0$. Pero esto contradice (1) . Por lo tanto, hemos encontrado una contradicción y el Teorema 1 está probado.