Pregunta sobre el rango de la matriz 2×n2×n2\times n

Question

Pregunta sobre el rango de la matriz 2×n2×n2\times n

matrices
Matemáticas
rango de matriz
álgebra lineal

azonips

tengo matriz $A$ con elementos enteros no negativos con $2$ filas y $n$ columnas ( $n\geq 2$ ). Tengo $n+1$ ecuaciones lineales entre menores de matriz $A$ de la forma

\sum_{0 \leq i, j \leq norte} C_{i j}^{(k)} A_{i j} = 0, k = 1, 2, \dots, norte + 1

$\sum_{0\leq i,j\leq n} c_{ij}^{(k)}A_{ij} = 0,\ k=1,2,\ldots,n+1$ dónde

c_{i j}^{(k)}

$c_{ij}^{(k)}$ algunas constantes (en mi caso

\pm 1

$\pm 1$ o cero) en

k

$k$ -ésima ecuación,

A_{i j}

$A_{ij}$ - menor con

i

$i$ -th y

j

$j$ -ésimas columnas de

A

$A$ . Estas ecuaciones son linealmente independientes.

Tengo una pregunta: ¿Estas ecuaciones son suficientes para verificar ese rango de $A$ es igual a $1$ ? En caso afirmativo: ¿cómo probarlo?

Respuestas (2)

Pregunta sobre el rango de la matriz 2×n2×n2\times n

matemático antiguo · Answer 1

No.

Para un contraejemplo tome $n=4$ , llevar

A = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{matrix}) .

$A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}.$

Hay seis menores $M_k$ decir, $M_1$ de valor $1$ y los demas de valor $0$ . Hay $4+1$ ecuaciones linealmente independientes

{METRO}_{2} = {METRO}_{3} = {METRO}_{4} = {METRO}_{5} = {METRO}_{6} = 0.

$M_2=M_3=M_4=M_5=M_6=0.$

azonips · Answer 2

Estoy interesado en responder la misma pregunta que antes pero con la suposición adicional de que cada columna es diferente del vector cero, es decir

[a_{1 i}, a_{2 i}]^{T} \neq [0, 0]^{T}, i = 1, 2, \dots norte

$[a_{1i},a_{2i}]^T\neq [0,0]^T,\ i=1,2,\ldots n$

¿La respuesta en este caso también es "no"?

Pregunta sobre el rango de la matriz 2×n2×n2\times n

azonips

Respuestas (2)

matemático antiguo

azonips

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Ax=bAx=bAx=b tiene solución sobre FpFp\Bbb{F}_p para todo primo p ⟹p ⟹p~\implica la existencia de una solución real??