problema sobre matriz semidefinida positiva simétrica

Si$A$es una matriz simétrica real, entonces$\text{Im}(A)=\text{ker}(A)^\perp$. Ahora si$v\in\text{ker}(A+B)$, entonces$\langle (A+B)v, v\rangle=0$. Pero como$A$y$B$ambos son positivos semidefinidos,$\langle Av, v\rangle\geq 0$y$\langle Bv, v\rangle\geq 0$. Esto obliga$\langle Av, v\rangle=0$. Pero si dejamos$\sqrt{A}$Sea la raíz cuadrada semidefinida positiva de$A$, entonces$\langle\sqrt{A}v, \sqrt{A}v\rangle=0\Longrightarrow \sqrt{A}v=0\Longrightarrow Av=0\Longrightarrow v\in\text{ker}(A)$. Entonces$\text{ker}(A+B)\subseteq\text{ker}(A)\Longrightarrow \text{Im}(A)\subseteq\text{Im}(A+B)$.

Para el segundo problema: Sea$\{v_i\}_{i=1}^n$sea ​​la base ortonormal de los vectores propios de$B$. Entonces

$$\begin{align*} \text{tr}(AB)=0\Longrightarrow &\sum_{i=1}^n\langle ABv_i, v_i\rangle=0\\ &\sum_{i=1}^n\lambda_i\langle Av_i, v_i\rangle=0\\ \Longrightarrow &\lambda_i\langle Av_i, v_i\rangle=0\ \ \text{for all }i \end{align*}$$ Si $\lambda_i=0$, entonces $ABv_i=\lambda_iAv_i=0$. Si $\langle Av_i, v_i\rangle=0$, entonces por el argumento anterior, $Av_i=0$. Entonces $ABv_i=\lambda_i Av_i=0$. Considerándolo todo, $AB=0$en el lapso de $v_1, \cdots, v_n$y por lo tanto $AB=0$.

Aquí hay un esquema para el primero, con algunos espacios para completar.

Muestre en su lugar que ker($A+B) \subset$ker$A$(por la fórmula de la dimensión, esto es lo mismo). Así que tenemos que demostrar que un$x$en el núcleo de la suma está en el núcleo de$A$.

Pero$0 = (A+ B)x$es lo mismo que$Ax = -Bx$, y entonces$x^tAx = - x^tBx$, y entonces (¿por qué?)

$$x^tAx=0$$

Ahora,$A$tiene una descomposición de Cholesky. si reemplazas$A$por eso, entonces obtienes que la norma de un vector (no$x$!) es cero. Pero este vector es (...), y si vuelves a multiplicar este vector por parte de la descomposición de Cholesky, se queda en cero. Esto te lleva a$Ax=0$, que es lo que queríamos mostrar.