¿Qué pasa con el rango de esta matriz?

Question

¿Qué pasa con el rango de esta matriz?

matrices
Matemáticas
rango de matriz
álgebra lineal

filipo giovanni

Problema: Supongamos $0<r<n$ . Suponer $A:\mathbb{R} \to \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ es $\mathcal{C}^1$ . Supongamos que tiene el rango de $A(t)$ es menor o igual $r$ para todos $t \in \mathbb{R}$ . ¿Qué decir del rango de $A'(0)$ ?

Intento: Intenté usar el hecho de que $rank(A)=k$ si y solo $k$ es el tamaño máximo de un menor invertible $B$ . Me gustaría decir eso $rank(A'(0)) \leq r$ pero no estoy seguro si es verdad. Por supuesto $rank(A'(0))$ podría ser $r$ porque podemos definir $A(t)$ como la matriz diagonal con la primera $r$ elementos iguales a $t$ y en cualquier otro lugar igual a $0$ .

Campo ciclotómico

Considere una matriz con la primera

r - 1

$r-1$ posiciones diagonales que contienen un

1

$1$ y el

r

$r$ -th ser

t

$t$ .

filipo giovanni

@CyclotomicField Mi afirmación es que

r a n k (A^{'} (0)) \leq r

$rank(A'(0)) \leq r$ .

Campo ciclotómico

Y como has notado, puede ser

r

$r$ así que todo lo que queda es verificar que puede ser menos de

r

$r$ . Tenga en cuenta que la diferenciación es una transformación lineal, por lo que el rango no puede aumentar.

Respuestas (2)

¿Qué pasa con el rango de esta matriz?

Considere una matriz con la primera $r-1$ posiciones diagonales que contienen un $1$ y el $r$ -th ser $t$ .
@CyclotomicField Mi afirmación es que $rank(A'(0)) \leq r$ .
Y como has notado, puede ser $r$ así que todo lo que queda es verificar que puede ser menos de $r$ . Tenga en cuenta que la diferenciación es una transformación lineal, por lo que el rango no puede aumentar.

levantar · Answer 1

En general, el rango de $A'(0)$ puede ser mas grande que $r$ . Considere por ejemplo $A(t) \colon \mathbb{R} \rightarrow M_2(\mathbb{R})$ dada por

A (t) = [\begin{matrix} t & t^{2} \\ 1 & t \end{matrix}] .

$A(t) = \begin{bmatrix} t & t^2 \\ 1 & t \end{bmatrix}.$ Entonces

A (t)

$A(t)$ tiene rango uno para todos

t \in R

$t \in \mathbb{R}$ pero

A^{'} (0) = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix}]

$A'(0) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ tiene rango dos.

En general, se puede obtener una relación explícita entre $A'(0)$ y $A(0)$ . una matriz $A$ tiene rango $\leq r$ si y si $\Lambda^{r+1}(A) = 0$ . Esta es una manera elegante pero útil de decir que todos los $(r + 1) \times (r+1)$ menores de $A$ desaparecer. En tu caso tienes $\Lambda^{r+1}(A(t)) \equiv 0$ . Diferenciando esta condición y taponando $t = 0$ entiendes que debemos tener

A^{'} (0) v_{1} \land A (0) v_{2} \land \dots \land A (0) v_{k + 1} + A (0) v_{1} \land A^{'} (0) v_{2} \land \dots \land A (0) v_{k + 1} + \dots + A (0) v_{1} \land \dots \land A (0) v_{k} \land A^{'} (0) v_{k + 1} = 0

$A'(0)v_1 \wedge A(0)v_2 \wedge \dots \wedge A(0)v_{k+1} + A(0)v_1 \wedge A'(0)v_2 \wedge \dots \wedge A(0)v_{k+1} + \\ \dots + A(0)v_1 \wedge \dots \wedge A(0)v_k \wedge A'(0) v_{k+1} = 0$ para todos

v_{1}, \dots, v_{k + 1} \in R^{n}

$v_1,\dots,v_{k+1} \in \mathbb{R}^n$ .

Este es un sistema de ecuaciones lineales en $A'(0)$ (donde suponemos $A(0)$ está arreglado). Dependiendo de cuál sea su matriz inicial $A(0)$ es decir, el sistema puede o no poner una restricción en $A'(0)$ pero no necesariamente una restricción en el rango de $A'(0)$ .

@FilippoGiovagnini: El poder exterior de $A$ (ver en.wikipedia.org/wiki/Exterior_algebra ).
Muchas gracias, pero lamentablemente aún no he estudiado el producto de cuña.
@FilippoGiovagnini: No hay problema. Básicamente tienes una función suave de valor vectorial $F(A)$ que genera los determinantes de todos los posibles $(r+1) \times (r+1)$ menores de $A$ . El hecho de que $A$ tiene rango $\leq r$ es equivalente a $F(A)=0$ . Entonces tiene $F(A(t)) \equiv 0$ entonces al diferenciarlo, obtienes una condición en $A'(0)$ . A saber, $dF|_{A(0)}(A'(0)) = 0$ . Escribiendo $F$ como potencia exterior le permite calcular fácilmente el diferencial y ese es el único uso de la potencia exterior en mi respuesta.

usuario1551 · Answer 2

Desde $\operatorname{rank}(A(t))\le r$ para cada $t$ , el rango del cociente diferencial $\frac{A(t)-A(0)}{t}$ es como mucho $2r$ . De ello se deduce que el rango de $A'(0)$ es también $\le2r$ . El ejemplo en la otra respuesta ya ha ilustrado el caso donde $\operatorname{rank}(A'(0))=2r$ .

¿Qué pasa con el rango de esta matriz?

filipo giovanni

Campo ciclotómico

filipo giovanni

Campo ciclotómico

Respuestas (2)

levantar

filipo giovanni

levantar

filipo giovanni

levantar

usuario1551

Menor bordeado y rango de una matriz

problema sobre matriz semidefinida positiva simétrica

¿El rango de una matriz es el mismo de su transpuesta? En caso afirmativo, ¿cómo puedo demostrarlo?

Demuestre que la matriz de proyección tiene el mismo rango que la matriz de diseño. [cerrado]

Pregunta sobre el rango de la matriz 2×n2×n2\times n

rango de una matriz entera de diagonal par

¿El rango de columna de una matriz rectangular con número de columnas es mayor que el número de filas?

¿Qué podemos decir sobre el rango (A)?

Un límite superior para trace(A2)trace(A2)\text{trace}(A^2) en términos de trace(A)trace(A)\text{trace}(A)

Ax=bAx=bAx=b tiene solución sobre FpFp\Bbb{F}_p para todo primo p ⟹p ⟹p~\implica la existencia de una solución real??