Producto matriz-vector: representar la matriz como vector de vectores aparentemente conduce a una paradoja al transponer la matriz

Actualmente estoy tomando una clase universitaria de álgebra lineal. En algunas demostraciones, una matriz dada$A \in \mathbb{R}^{m\times n}$se dice que se puede representar como un$1\times n$vector de fila de$m \times 1$vectores columna, es decir:

$$A = [\vec{a_1}\quad\vec{a_2}\quad\dots\quad \vec{a_n}]$$

con$\vec{a_i}$la i- ésima columna de$A$. Naturalmente, la transposición de$A$, como se usa en la mayoría de tales demostraciones, estaría dada por un$n\times 1$vector de columna de$1\times m$vectores de fila:

$$A^T = [\vec{a_1^T}\quad\vec{a_2^T}\quad\dots\quad \vec{a_n^T}]^T$$ Al realizar la multiplicación matriz-vector de la forma$A\vec x$, sé que la cantidad de filas del vector debe coincidir con la cantidad de columnas de la matriz. (En este caso,$\vec x$sería un$n \times 1$vector columna, y el resultado sería un$[m \times n][n \times 1] = [m \times 1]$vector de columna).

Ahora bien, al considerar$A$como un vector de fila como en la primera ecuación, podemos ver que esto se mantiene, ya que el resultado sería$[1 \times n][n \times 1] = [1 \times 1]$, aunque contiene una suma de escalas$m \times 1$vectores columna, por lo que, después de escalar y sumar, un$m \times 1$vector de columna

$$A\vec x = [\vec{a_1}\quad\vec{a_2}\quad\dots\quad \vec{a_n}][x_1\quad x_2 \quad\dots\quad x_n]^T = \vec{a_1}\cdot x_1 + \vec{a_2}\cdot x_2 + \dots + \vec{a_n}\cdot x_n \in \mathbb{R}^{m \times 1}$$ Mi problema, entonces, surge al considerar el mismo producto, pero cambiando$A$con$A^T$ (Editar: para mayor claridad, esto no es transponer$Ax$, sino más bien intercambiando$A$para ver qué pasa.) , así$A^T\vec x$con$\vec x$lo mismo$n \times 1$vector de columna Convencionalmente, esto sería el producto de un$n \times m$matriz con un$n \times 1$vectorial: imposible. Sin embargo, al considerar$A^T$como un$n \times 1$vector columna como en la segunda ecuación, esto parece ser posible, es decir, como el punto de dos vectores de iguales dimensiones: $$A^T\boldsymbol{\cdot}\vec x = [\vec{a_1^T}\quad\vec{a_2^T}\quad\dots\quad \vec{a_n^T}]^T\boldsymbol{\cdot}[x_1\quad x_2 \quad\dots\quad x_n]^T = \vec{a_1^T}\cdot x_1 + \vec{a^T_2}\cdot x_2 + \dots + \vec{a^T_n}\cdot x_n \in \mathbb{R}^{1\times n}$$ Esto, para mí, parece ser una paradoja, ya que obviamente hay un desajuste en las dimensiones de$\vec x$(es decir$n$) y las dimensiones del espacio de entrada de$A^T$(es decir$m$), sin embargo, reescribiendo$A^T$como un vector, como se hace con$A$, elimina dicho desajuste, según parece. ¿Es incorrecto suponer que uno puede eliminar este desajuste? ¿Es incorrecto suponer el producto matriz-vector de una matriz en$\mathbb{R}^{n\times 1}$con un vector en$\mathbb{R}^n$ser igual al producto escalar de dos vectores en$\mathbb{R}^n$? ¿Está mal escribir una matriz como un vector de vectores, o tal vez transponer tal construcción?