Isomorfismo entre un cociente del grupo dual y el dual de un subgrupo

En el Álgebra de Lang se da el siguiente corolario:

Corolario 9.3. Dejar$A$ser un grupo abeliano finito,$B$un subgrupo,$\bar{A}$el grupo dual y$K$el conjunto de$\phi$ $\epsilon$ $\bar{A}$tal que$\phi(B)$=0. Entonces tenemos un isomorfismo natural de$\bar{A}$/$K$con$\bar{B}$.

El teorema anterior dice:

Teorema 9.2. Dejar$A$$\times$$A’$$\rightarrow$$C$ser un mapa bilineal de dos grupos abelianos en un grupo cíclico de orden$m$. Dejar$B$,$B’$ser sus respectivos núcleos a la izquierda ya la derecha. Asumir que$A’/B’$es finito Entonces$A/B$es finito, y$A’/B’$es isomorfo al grupo dual de$A/B$.

Entiendo por qué el teorema implica el corolario siempre que el núcleo derecho del mapa bilineal$\bar{A}$$\times$$B$$\rightarrow$$C$(dónde$C$es un grupo cíclico de orden$m$y$m$es un exponente de$A$) definido por ($\phi$,$b$)$\mapsto$$\phi(b)$es trivial Sin embargo, no entiendo por qué esto es (es decir, por qué para cada no identidad$b$ $\epsilon$ $B$Hay alguna$\phi$ $\epsilon$ $\bar{A}$tal que$\phi(b)$no es la identidad en$C$?)