El procedimiento más general para la cuantificación.

La idea general es la siguiente. Como la variedad simpléctica es afín (en el sentido de espacios afines, no en el sentido de la existencia de una conexión afín), cuando fijas un punto$O$, la variedad se convierte en un espacio vectorial real dotado de una forma simpléctica no degenerada. Un procedimiento de cuantización no es más que la asignación de una estructura (Hilbert-) Kahler que completa la estructura simpléctica. De esta forma el espacio vectorial real se convierte en un espacio vectorial complejo dotado de un producto escalar hermitiano y su terminación es un espacio de Hilbert donde se define la teoría cuántica. Como probaré brevemente en el siguiente ejemplo, las simetrías simplécticas se convierten en simetrías unitarias siempre que la estructura de Hilbert-Kahler sea invariante bajo la simetría. De esta forma, la evolución temporal en la descripción hamiltoniana da lugar a una evolución temporal unitaria.

Un ejemplo interesante es el siguiente. Considere un espacio-tiempo globalmente hiperbólico suave $M$y el espacio vectorial real$S$de soluciones reales fluidas $\psi$de la ecuación real de Klein-Gordon tales que han soportado de forma compacta los datos de Cauchy (en una y, por lo tanto, en todas las superficies de Cauchy del espacio-tiempo).

Una forma simpléctica no degenerada (bien definida) viene dada por:

$$\sigma(\psi,\phi) := \int_\Sigma (\psi \nabla_a \phi - \phi \nabla_a \psi)\: n^a d\Sigma$$ dónde $\Sigma$es una superficie de Cauchy suave similar al espacio, $n$su apuntamiento futuro vector normal normalizado y $d\Sigma$la forma de volumen estándar inducida por la métrica del espacio-tiempo. En vista de la ecuación de KG, la elección de $\Sigma$no importa como se puede probar fácilmente usando el teorema de la divergencia.

Hay infinitas estructuras de Kahler que uno puede construir aquí. Un procedimiento (uno de los posibles) es definir un producto escalar real:

$$\mu : S \times S \to R$$ tal que $\sigma$es continua con respecto a él (el factor $4$surge por pura conveniencia posterior): $$|\sigma(\psi, \phi)|^2 \leq 4\mu(\psi,\psi) \mu(\psi,\psi)\:.$$ Bajo estas hipótesis se puede definir una estructura de Hilbert-Kahler como paso a resumir.

Es posible probar que existe un espacio de Hilbert complejo$H$y una inyección$R$-mapa lineal$K: S \to H$tal que$K(S)+ i K(S)$es denso en$H$y si$\langle | \rangle$denota el producto espacial de Hilbert:

$$\langle K\psi | K\phi \rangle = \mu(\psi,\phi) -\frac{i}{2}\sigma(\psi,\phi) \quad \forall \psi, \phi \in S\:.$$ Finalmente la pareja $(H,K)$se determina hasta isomorfismos unitarios forman el triple $(S, \sigma, \mu)$.

Ves que, de hecho,$H$es una complejificación hilbertiana de$S$cuya parte antisimétrica del producto escalar es la forma simpléctica. (También es posible escribir la estructura casi compleja de la teoría que está relacionada con la descomposición polar del operador que representa$\sigma$en la clausura del espacio vectorial real$S$equipado con el producto escalar real$\mu$.)

¿Cuál es el significado físico de$H$?

Es lo que los físicos llaman espacio de Hilbert de una partícula . De hecho, considere el espacio bosónico de Fock ,${\cal F}_+(H)$, generado por$H$.

$${\cal F}_+(H)= C \oplus H \oplus (H\otimes H)_S \oplus (H\otimes H\otimes H)_S \oplus \cdots\:,$$ y denotamos por $|vac_\mu\rangle$el número $1$en $C$visto como un vector en ${\cal F}_+(H)$

Uno puede definir de${\cal F}_+(H)$una representación fiel de CCR bosónico definiendo el operador de campo :

$$\Phi(\psi) := a_{K\psi} + a^*_{K\psi}$$

dónde$a_f$es el operador de aniquilación estándar referido al vector$f\in H$y$a_f^*$el operador de creación estándar referido al vector$f\in H$. Resulta que, con esa definición, los valores esperados de vacío:

$$\langle vac_\mu| \Phi(\psi_1)\cdots \Phi(\psi_n) |vac_\mu\rangle$$ satisfacen la prescripción estándar de Wick y, por lo tanto, todos ellos pueden calcularse en términos de la función de dos puntos solamente: $$\langle vac_\mu| \Phi(\psi) \Phi(\phi) |vac_\mu\rangle$$ Además, están de acuerdo con la fórmula válida para estados gaussianos (como el vacío libre de Minkowski en el espacio-tiempo de Minkowski) $$\langle vac_\mu | e^{i \Phi(\psi)} |vac_\mu \rangle = e^{-\mu(\psi,\psi)/2}$$

En realidad, en vista del teorema GNS, la representación construida del CCR está determinada únicamente por$\mu$, hasta equivalencias unitarias.

El operador de campo$\Phi$está manchado con soluciones KG en lugar de funciones suaves y compactadas$f$como siempre. Sin embargo, la "traducción" se obtiene simplemente. Si$E : C_0^{\infty}(M) \to S$denota el propagador causal (la diferencia de la solución fundamental avanzada y retardada de la ecuación de KG) el operador de campo habitual manchado con$f\in C_0^{\infty}(M)$es:

$$\hat{\phi}(f) := \Phi(Ef)\:.$$

El CCR se puede indicar en ambos idiomas. Untando campos con soluciones KG uno tiene:

$$[\Phi(\psi), \Phi(\phi)] = i \sigma(\psi,\phi)I\:,$$

manchando a los operadores de campo con funciones, uno en cambio tiene:

$$[\hat{\phi}(f), \hat{\phi}(g)] = i E(f,g) I$$

Cada grupo de un parámetro de difeomorfismos simplécticos $\alpha_t :S \to S$(por ejemplo, isometrías continuas de Killing de$M$) dan lugar a una acción sobre el álgebra de los campos cuánticos

$$\alpha^*_t(\Phi(\psi)) := \Phi(\psi \circ \alpha_t)\:.$$ si el estado $|vac_\mu\rangle$es invariante bajo $\alpha_t$, a saber $$\mu\left(\psi \circ \alpha_t,\psi \circ \alpha_t\right) = \mu\left(\psi ,\psi \right)\quad \forall t \in R,$$ entonces, esencialmente usando el teorema de Stone, se ve que dicha simetría continua admite una representación unitaria (fuertemente continua): $$U_t \Phi(\psi) U^*_t =\alpha^*_t(\Phi(\psi))\:.$$ El generador autoadjunto de $U_t= e^{-itH}$es un operador hamiltoniano para esa simetría. En realidad, esta interpretación es adecuada si $\alpha_t$surge por una simetría de Matar continua similar al tiempo. El vacío de Minkowki se construye de esta manera y requiere que el correspondiente $\mu$es invariante bajo todo el grupo ortocrónico de Poincaré.

Todo el cuadro que he esbozado es intermedio entre la QFT "práctica" y la llamada formulación algebraica . Sólo me gustaría recalcar que elegir diferentes$\mu$generalmente se obtienen representaciones unitariamente no equivalentes de CCR bosónico.

Aquí hay algunos comentarios sobre la literatura, que tal vez sirvan para poner la respuesta más concreta de Valter Moretti en una perspectiva más amplia.

La pregunta formulada es una pregunta sorprendentemente buena. Es "bueno", porque es cierto que existe esta prescripción muy general para la cuantización; y "sorprendentemente" porque, si bien la idea general ha existido durante mucho tiempo, ¡esto se entendió con una generalidad decente solo el año pasado!

A saber, por un lado, se ha apreciado durante mucho tiempo en el contexto de la mecánica cuántica que lo que los físicos denominan rotundamente "cuantización canónica" es realmente esto: la construcción del espacio de fase covariante como una variedad (pre-)simpléctica, y luego la cuantización de este por la prescripción de la cuantización algebraica de la deformación o la cuantización geométrica .

Por el contrario, se ha entendido sorprendentemente más recientemente que los métodos establecidos de cuantificación perturbativa de las teorías de campo, especialmente bajo la apariencia de la teoría de peruturbación causal de Epstein-Glaser (como QED, QCD y también la gravedad cuántica perturbativa, como en los libros de texto de Scharf) son de hecho también ejemplos de este método general.

Para campos libres (sin interacciones), esto se entendió por primera vez en

• J. Dito. "Enfoque del producto estrella a la teoría cuántica de campos: el campo escalar libre". Letters in Mathematical Physics, 20(2):125–134, 1990.

y luego amplificado en una larga serie de artículos sobre la teoría cuántica perturbativa localmente covariante del campo

por Klaus Fredenhagen y colaboradores, empezando por

• M. Dütsch y K. Fredenhagen. "Teoría del campo algebraico perturbativo y cuantización de la deformación". En R. Longo (ed), "Física matemática en matemáticas y física, aspectos cuánticos y algebraicos del operador", volumen 30 de Fields Institute Communications, páginas 151–160. Sociedad Matemática Estadounidense, 2001.

Curiosamente, a pesar de esta idea, estos autores continuaron tratando la teoría cuántica de campos interactivos mediante la fórmula de Bogoliubov comparativamente ad hoc, en lugar de derivarla de manera similar de una cuantización de la estructura (pre-) simpléctica del espacio de fase de la teoría interactiva.

Ese último paso, para mostrar que la construcción tradicional de la teoría de campos cuánticos peturbativos interactivos a través de productos ordenados en el tiempo y la fórmula de Bogoliubov también se deriva de la prescripción general de deformación/cuantización geométrica del espacio de fase (pre-) simpléctico, increíblemente, solo se hizo al final. año, en la muy recomendable tesis

• Giovanni Collini, Fedosov Cuantización y Teoría Perturbativa de Campos Cuánticos arXiv:1603.09626

Solo lea la introducción de esta tesis, vale mucho la pena.

(Aprendí sobre este artículo de Igor Khavkine y Alexander Schenkel, por lo que estoy agradecido).

En un espíritu similar, un poco más tarde apareció

• Eli Hawkins, Kasia Rejzner, El producto estrella en la teoría de campos cuánticos interactivos arxiv: 1612.09157

que analiza la situación con un poco más de generalidad que Collini, pero omitiendo los detalles técnicos de la renormalización en esta perspectiva.