Relaciones de conmutación de tiempo igual en cuantización canónica de campos libres relativistas

Question

Relaciones de conmutación de tiempo igual en cuantización canónica de campos libres relativistas

Física
conmutador
cuantización
segunda cuantización
teoría cuántica de campos
formalismo hamiltoniano

SRS

¿Por qué se usa la relación de conmutación de tiempo igual en la cuantificación canónica de campos libres relativistas? En una teoría relativista, el espacio y el tiempo deben ser tratados en pie de igualdad.

Cazador

Tal vez relacionado con physics.stackexchange.com/q/90963

danu

Yo no diría eso, Hunter.

joshfísica

Cuando dices "por qué", ¿estás preguntando cómo podemos salirnos con la nuestra con relaciones de conmutación de tiempo igual? Por qué las preguntas son difíciles de interpretar. Una respuesta podría ser, por ejemplo, notar que hacemos lo mismo en la mecánica cuántica con los operadores que representan los grados fundamentales de libertad en el espacio de fase, y estamos haciendo lo mismo en QFT; es. ¿Sería satisfactoria una respuesta de ese tipo?

joshfísica

@RoopamSinha Las teorías de campo invariantes de Poincaré respetan la relatividad especial, no todas las teorías de campo. En estas teorías, lo que importa es la invariancia de los objetos que definen la teoría bajo cambios de marco. La idea de tratar el espacio y el tiempo en pie de igualdad es algo vaga; ¿diría usted que el hecho de que el

t t

$tt$ componente de la métrica tiene un signo diferente que los componentes espaciales es una violación del tiempo y el espacio que se tratan "en pie de igualdad"? El tiempo y el espacio no son físicamente lo mismo, simplemente se los considera como dos coordenadas de una variedad.

Respuestas (4)

Relaciones de conmutación de tiempo igual en cuantización canónica de campos libres relativistas

Cuando dices "por qué", ¿estás preguntando cómo podemos salirnos con la nuestra con relaciones de conmutación de tiempo igual? Por qué las preguntas son difíciles de interpretar. Una respuesta podría ser, por ejemplo, notar que hacemos lo mismo en la mecánica cuántica con los operadores que representan los grados fundamentales de libertad en el espacio de fase, y estamos haciendo lo mismo en QFT; es. ¿Sería satisfactoria una respuesta de ese tipo?
@RoopamSinha Las teorías de campo invariantes de Poincaré respetan la relatividad especial, no todas las teorías de campo. En estas teorías, lo que importa es la invariancia de los objetos que definen la teoría bajo cambios de marco. La idea de tratar el espacio y el tiempo en pie de igualdad es algo vaga; ¿diría usted que el hecho de que el $tt$ componente de la métrica tiene un signo diferente que los componentes espaciales es una violación del tiempo y el espacio que se tratan "en pie de igualdad"? El tiempo y el espacio no son físicamente lo mismo, simplemente se los considera como dos coordenadas de una variedad.

Valter Moretti · Answer 1

De hecho, también se podrían discutir las relaciones de conmutación en diferentes momentos:

[ϕ (X), ϕ (y)] = i mi (X, y) I (1)

$[\phi(x),\phi(y)] = i E(x,y) I\quad (1)$ para campos libres

E

$E$ es el llamado propagador causal o solución fundamental avanzada menos retardada que depende de la ecuación de campo libre satisfecha por

ϕ

$\phi$ .

El punto es que, al pasar a considerar campos que interactúan, al menos formalmente, las relaciones de conmutación de tiempo igual permanecen sin cambios con respecto al caso libre, mientras que la correspondiente de (1) cambia a una forma, en la práctica, desconocida, ya que incluyen la dinámica completa .

En realidad, incluso esta idea no funciona completamente, ya que los campos que interactúan $\Phi$ se ven afectados por una constante de renormalización $Z^{1/2}$ :

Φ (t, \vec{X}) \to Z^{1 / 2} ϕ (t, \vec{X}) en sentido débil como t \to \pm \infty

$\Phi (t,\vec x) \to Z^{1/2} \phi(t, \vec x)\quad \mbox{in weak sense as } t \to \pm \infty$ y, tratándose ingenuamente del procedimiento de renormalización, surge

Z = 0

$Z=0$ . Entonces las relaciones canónicas de conmutación parecen ser insostenibles para campos

Φ (x), \partial_{t} Φ (y) = Π (y)

$\Phi(x), \partial_t \Phi(y) = \Pi(y)$ . Sin embargo, todo eso suena un poco académico ya que el procedimiento de renormalización, en cierto sentido, resuelve el problema.

Me gustaría enfatizar que el hecho de que las relaciones de conmutación se tomen en el mismo tiempo no está en contradicción con la invariancia relativista: la covarianza (es decir, el uso de tensores y tomando el espacio y el tiempo en pie de igualdad) es solo una forma de hacer explícita la invariancia relativista . invariancia , ¡pero de ninguna manera es la única!

El formalismo hamiltoniano no es covariante, aunque es relativistamente invariante : todas las ecuaciones (incluida la CCR) toman la misma forma en cada marco de referencia inercial.

danu · Answer 2

Seguramente, el campo y el momento no conmutan cuando se examinan en el mismo caso, por extensión de la lógica de la mecánica cuántica. Sin embargo, no hay ninguna razón por la que el campo y el impulso no deban conmutar cuando están bien separados en el tiempo. En términos muy generales, simplemente no tienen nada que ver entre sí. La conclusión lógica es que se deben usar relaciones de conmutación de tiempo igual que denoten que las cantidades no conmutan en tiempos iguales pero conmutan cuando están bien separadas en el tiempo.

SRS · Answer 3

Permítanme esbozar una respuesta elaborada en la referencia A First Book of Quantum Field Theory de Lahiri y Pal (Segunda edición, página $30$ ).

De acuerdo con esta referencia anterior, el conmutador

\begin{matrix} (1) & [ϕ (t, X), π (t, y)] = i d^{(3)} (X - y) \end{matrix}

$[\phi(t,\textbf{x}),\pi(t,\textbf{y})]=i\delta^{(3)}(\textbf{x}-\textbf{y})\tag{1}$ es en realidad covariante aunque la covarianza no es manifiesta!

Si dos puntos del espacio-tiempo coinciden en un marco inercial, también coincidirán en diferentes marcos inerciales. Por lo tanto, al menos para el caso especial cuando $x=y$ (es decir, $x^0=y^0=t$ y $\textbf{x}=\textbf{y}$ ), la relación de conmutación $(1)$ se satisface de la misma forma en un marco inercial diferente.

Ahora, preguntémonos si la relación $(1)$ , en general, se transforma covariantemente bajo la transformación de Lorentz. Lo primero a tener en cuenta es que $\phi$ es un escalar y $\pi=\partial_0\phi$ . Por lo tanto, la propiedad de transformación de Lorentz del LHS proviene de $\partial_0$ lo que deja en claro que LHS debe transformarse como el componente de tiempo de un cuatro vector. Ahora, desde

\begin{matrix} (2) & \int d t \int d^{3} y d^{(3)} (X - y) = \int d t \end{matrix}

$\int dt\int d^3\textbf{y}\delta^{(3)}(\textbf{x}-\textbf{y})=\int dt\tag{2}$ y

d^{4} y = d t d^{3} y

$d^4y=dtd^3\textbf{y}$ es invariante de Lorentz,

δ^{(3)} (x - y)

$\delta^{(3)}(\textbf{x}-\textbf{y})$ también debe transformarse como el componente de tiempo de un vector de cuatro. Por lo tanto,

(1)

$(1)$ es covariante.

higgsss · Answer 4

Los operadores de campo se definen en la imagen de Heisenberg, y el conmutador de tiempo igual en la imagen de Heisenberg es simplemente el conmutador habitual en la imagen de Schrödinger. ¡Por lo tanto, es realmente lo mismo que hacemos en QM ordinario!

Como usted señaló, la noción de "tiempo igual" no es invariante de Lorentz. De hecho, en el procedimiento de cuantización canónica, la invariancia de Lorentz de la teoría del campo subyacente se oscurece porque tenemos que destacar la dirección del tiempo. Sin embargo, la invariancia de Lorentz no se pierde, aunque no se manifiesta.

Por otro lado, la invariancia de Lorentz se manifiesta en la cuantificación integral de trayectoria, que es una de las ventajas de este método.

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Cazador

danu

joshfísica

joshfísica

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Valter Moretti

danu

SRS

higgsss

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