Cuantización de un campo libre: caso de Klein-Gordon

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Cuantización de un campo libre: caso de Klein-Gordon

Física
cuantización
Transformada de Fourier
teoría cuántica de campos
formalismo hamiltoniano
ecuación de klein-gordon

usuario56963

Soy un principiante y estoy leyendo el texto de este curso en QFT.

El autor introduce primero la ecuación de KG:

\partial_{m} \partial^{m} ϕ + {metro}^{2} ϕ = 0

$\partial_\mu\partial^{\mu}\phi+m^2\phi=0$

[con la firma de Minkowski $(+,-,-,-)$ ]. Luego se utiliza la transformada de Fourier para obtener:

ϕ (X, t) = \int \frac{d^{3} pag}{(2 π)^{3}} {mi}^{i pag \cdot X} ϕ (pag, t)

$\phi(\mathbf{x},t)=\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\phi(\mathbf{p},t)$

Mi primera pregunta está relacionada quizás con la elección de notación o un error tipográfico. ¿Deberíamos usar la misma función utilizada para el campo para escribir la transformada de Fourier? O deberíamos poner $\Phi(\mathbf{p}, t)$ en lugar de $\phi(\mathbf{p},t)$ ?

Ahora si aplicamos la transformada de Fourier a la ecuación de KG tenemos:

(\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} + {pag}^{2} + {metro}^{2}) ϕ (pag, t) = 0

$(\frac{\partial^2}{\partial t^2}+ p^2+m^2)\phi(\mathbf{p},t)=0$ que es la ecuación de un oscilador que vibra a la frecuencia

\sqrt{(p^{2} + m^{2})}

$\sqrt{(p^2+m^2)}$ .

(Todavía estoy confundido aquí porque necesitamos decir que la transformada de Fourier del campo $\Phi(\mathbf{p},t)$ es un oscilador).

Mi segunda pregunta es por qué usamos $\mathbf{p}$ aquí, podríamos etiquetarlo de otra manera. A continuación lo llamamos 3-momentum. Esto también es confuso para mí. Introducimos el momento conjugado del campo por $\pi(\mathbf{x})$ . Pero un 3-momentum no tiene sentido en esta etapa porque aún no hemos discutido las partículas y podemos usar cualquier otra etiqueta. La teoría simplemente no necesita la noción de partículas. Veo que más adelante llamamos excitaciones del campo como partículas con energías $\sqrt{(p^2+m^2)}$ .

Si queremos cuantificar este oscilador, recordemos del formalismo hamiltoniano de la mecánica cuántica que las coordenadas generalizadas se pueden dar en términos de operadores de creación y aniquilación como:

q = \frac{1}{\sqrt{2 ω}} (a + a^{†})

$q=\frac{1}{\sqrt{2\omega}}(a+a^{\dagger})$

El autor ahora da la ecuación del campo como una suma lineal de un número infinito de operadores de creación y aniquilación indexados por el 3-momentum $\mathbf{p}$ :

ϕ (X) = \int \frac{d^{3} pag}{(2 π)^{3}} \frac{1}{\sqrt{2 ω_{pag}}} [a_{pag} {mi}^{i pag . X} + a_{pag}^{†} {mi}^{- i pag . X}]

$\phi(\mathbf{x})=\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}}[a_{\mathbf{p}}e^{i\mathbf{p}.\mathbf{x}}+a_{\mathbf{p}}^{\dagger}e^{-i\mathbf{p}.\mathbf{x}}]$

Mi tercera pregunta es por qué tenemos $e^{-i\mathbf{p}.\mathbf{x}}$ . ¿No debería ser $e^{i\mathbf{p}.\mathbf{x}}$ en cambio.

Mis preguntas cuarta y quinta. ¿No es cierto que solo necesitamos reemplazar $\Phi$ con $q$ en la segunda ecuación anterior? y donde esta $t$ ?

Respuestas (1)

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Mi primera pregunta está relacionada quizás con la elección de notación o un error tipográfico. ¿Deberíamos usar la misma función utilizada para el campo para escribir la transformada de Fourier? ¿O deberíamos poner Φ(p,t) en lugar de ϕ(p,t)?

Esta es una horrible convención física estándar. Claramente, las formas funcionales de los dos "phis" son diferentes, pero el símbolo que se usa es el mismo. Esto realmente es un terrible abuso de notación, se basa en la convención de que "sabemos" que "p" es una letra que se usa convencionalmente para momentos y "x" es una letra que se usa convencionalmente para posición. En verdad, es mejor escribir (nótese la tilde sobre el segundo phi):

ϕ (X, t) = \int \frac{d^{3} pag}{(2 π)^{3}} {mi}^{i pag . X} \tilde{ϕ} (pag, t)

$\phi(\mathbf{x},t)=\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}e^{i\mathbf{p}.\mathbf{x}} \tilde \phi(\mathbf{p},t)$ y, de hecho, verá esta notación a veces.

Mi segunda pregunta es por qué usamos p aquí, podríamos etiquetarlo de otra manera. A continuación lo llamamos 3-momentum.

Esto es en anticipación de su interpretación posterior como un impulso. No hay razón para que esta interpretación sea clara hasta que haya estudiado más a fondo las implicaciones de la ecuación.

Mi tercera pregunta es por qué tenemos $e^{-i\mathbf{p}.\mathbf{x}}$ . ¿No debería ser $e^{i\mathbf{p}.\mathbf{x}}$ en cambio.

Desde $\omega$ solo depende de la magnitud del impulso puedes cambiar las variables de $\vec p$ a $-\vec p$ si quieres. Esto solo cambiará tu definición de $a^\dagger_{\vec p}$ . Esta es la definición convencional.

[ Mis cuarta y quinta preguntas ...] ¿No es cierto que solo necesitamos reemplazar $\Phi$ con $q$ en la segunda ecuación anterior? y donde esta $t$ ?

Tienes que extender la idea de "q" a una cantidad dependiente del momento. Y, como se discutió anteriormente, hay una forma convencional de hacer esto.

La variable t no aparece en la ecuación que diste porque, en este punto, solo estás transformando Fourier con respecto a la posición. Para anticipar/comprender lo que está pasando, piense en los operadores en la imagen de Schrödinger. No tienen una dependencia temporal explícita. La dependencia del tiempo aparecerá más adelante cuando se mueva a la imagen de Heisenburg y coloque a sus operadores entre sí. $e^{-\hat H t}$ y $e^{i\hat H t}$ .

Una nueva pregunta relacionada: ¿Es este oscilador, que vibra a una frecuencia, que es un phi dependiente del momento, la misma idea detrás de la noción de fluctuaciones cuánticas, o eso no está relacionado en absoluto con esta vibración?
Si tiene una nueva pregunta, refinarla y publicarla como una pregunta real. No podemos tener una discusión extensa en los comentarios.
Claro, aquí está physics.stackexchange.com/questions/168398/…
@VictorVMotti -Con respecto a tu segunda pregunta, se te ocurre $\textbf{p}$ ser el impulso de uno de los modos de Fourier $\tilde{\phi}(\textbf{p},t)$ . Los modos de Fourier están ahí incluso antes de cuantificar.

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