¿La renormalización de QFT contradice la cuantificación canónica?

¿La renormalización de QFT contradice la cuantificación canónica?

En la cuantización canónica, toma los campos clásicos y los momentos canónicos y los convierte en operadores, y requiere que los conmutadores (o anticonmutadores) sean iguales a los corchetes de Poisson de los campos originales. Además, debe cuantificar el hamiltoniano clásico (por supuesto, dado que los campos clásicos conmutan pero los operadores cuánticos no, debe cuantificar el hamiltoniano de acuerdo con una prescripción bien definida, como el orden normal). La forma del hamiltoniano cuántico se parecerá a la forma del clásico, pero será un operador en lugar de un número. En particular, si una constante física aparece en el hamiltoniano clásico, también aparecerá en el cuántico y tendrá el mismo valor. Ahora bien, en la renormalización las constantes que aparecen en el Lagrangiano (desnudo) no son las físicas, y por tanto son diferentes de las constantes que aparecen en el lagrangiano "clásico" (y por tanto hamiltoniano). Entonces, el hamiltoniano cuántico "desnudo" tendrá una forma similar al hamiltoniano clásico, ¡pero las constantes serán totalmente (y quizás infinitamente) diferentes!

Entonces, ¿es necesario reformular el esquema de cuantificación?

Bueno, las relaciones de conmutación correctas para los campos desnudos deben extraerse utilizando el método estándar (velocidades, momentos - derivadas de L con respecto a las velocidades) del Lagrangiano completo para los campos desnudos (que incluye contratérminos). Las relaciones de conmutación completas para cualquier tipo de campos renormalizados deben extraerse de los métodos aplicados al Lagrangiano completo en función de los campos renormalizados. ¿Cuál es el problema? Es el mismo Lagrangiano, solo que en diferentes variables, por lo que los dos métodos (y los resultados para los conmutadores) están relacionados solo por una redefinición de campo.
Tome un campo clásico. Se define con un Lagrangiano que involucra constantes físicas. Calcule el hamiltoniano (a través de Noether o Legendre). También contendrá constantes físicas. Cuando cuantificas la teoría, conviertes los campos en operadores y reemplazas los operadores en H. Así que ahora tienes un cuanto H con las mismas constantes físicas y forma que el clásico. Por otro lado, si toma la L expresada con campos y constantes desnudos (por lo tanto, sin contratérminos) y encuentra la H, obtiene una expresión idéntica pero con constantes desnudas en lugar de físicas.
Cuando cuantifico un campo clásico, ¿el campo se convierte en el operador del campo desnudo o en el operador del campo físico (con unidad de fuerza de campo Z)?
@Lior: es posible que desee consultar la Teoría del campo cuántico para matemáticos de Tacciati ... recorre la renormalización en el entorno canónico de manera bastante hermosa.

Respuestas (1)

(Después de pensar en el problema anterior, se me ocurrió esta explicación que creo que es correcta. Soy consciente de que la pregunta en sí no ha sido 100% bien formulada).

No hay contradicción.

Aunque "pedagógicamente" es útil pensar en el procedimiento de cuantización, en el que la teoría cuántica se obtiene de la clásica, es más "natural" pensar al revés, que la teoría clásica surge de la cuántica a través de el proceso de "clasicización" (Esto se debe a que la teoría cuántica es una descripción más fundamental de la realidad). Ahora, la teoría cuántica de campos y el flujo de grupo de renormalización nos dicen que el Lagrangiano efectivo de una teoría depende de la escala de momento de los campos que interactúan. En otras palabras, las constantes de acoplamiento y la masa dependen de la escala de momento. Cuando hacemos física clásica, generalmente usamos lagrangianos que corresponden a escalas de bajo impulso. Estos lagrangianos deben pensarse como obtenidos de la teoría cuántica en el proceso de "clasicización", y el Lagrangiano efectivo que se utilizó en el proceso correspondió a la escala de momento bajo. Si trabajáramos en una escala de momento más alta, "fluiríamos" a un Lagrangiano diferente en la teoría cuántica, y luego al "clasicizar" la teoría obtendríamos un Lagrangiano diferente. (Por supuesto, no hay diferencia entre los lagrangianos clásicos y cuánticos, pero la física cuántica y la física clásica que se relacionan con estos lagrangianos idénticos son diferentes). Entonces, es cierto que si usa solo un Lagrangiano específico de una teoría clásica y lo cuantifica, entonces obtiene un hamiltoniano que tiene una dependencia diferente de las constantes físicas que el clásico. Esto se debe a que el hamiltoniano cuántico tiene contratérminos adicionales que "absorben" el hecho de que la teoría se comporta de manera diferente en diferentes escalas de momento. Este comportamiento diferente fue olvidado en la teoría clásica ya que fue "clasicizado" a partir de un Lagrangiano efectivo específico en una escala de momento específica.

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