Equivalencia de la ecuación de movimiento clásica y cuantificada para un campo libre

Supongamos que no hay obstrucciones para la cuantización, problemas de orden, etc. Esto está perfectamente bien en la mayoría de los casos físicos y creo que esto hace que la respuesta sea más comprensible.

La respuesta tiene dos partes:

1. Dado que el hamiltoniano cuántico no es más que el hamiltoniano clásico con sombreros en los campos y momentos $$\hat H=H_{cl}\, (\hat \Pi , \hat \Phi)$$ y que la prescripción de Dirac sostiene $$[\cdot, \square]=i\hbar \{\cdot , \square\}$$ con el punto y el cuadrado cualquier campo o cantidad de movimiento, entonces está claro que las ecuaciones de movimiento clásica y cuántica en la imagen de Heisenberg son formalmente las mismas.
2. Si las ecuaciones de movimiento son lineales en los campos, entonces la equivalencia formal anterior es además "real", es decir: los valores esperados de los campos evolucionan como los campos clásicos. Este es el teorema de Ehrenfest.

Ejemplo: Para simplificar, considere el siguiente problema de mecánica cuántica (la generalización a QFT es inmediata):

$$H_{cl} (P,Q)= {P^2\over 2}+{Q^2\over 2}+g{Q^3\over 3}$$ con los soportes estándar de Poisson. Tenga en cuenta que este es el oscilador armónico (en algunas unidades convenientes donde la masa y la frecuencia se establecen en 1) más un término de interacción. La ecuación clásica del movimiento se obtiene como bien sabes (tomando paréntesis de Poisson con el hamiltoniano) y en su forma de segundo orden es: $$\ddot Q + Q + gQ^2=0$$ Hasta aquí todo es clásico. Ahora, el hamiltoniano cuántico es simplemente: $$\hat H= H_{cl}\, (\hat P , \hat Q)= {\hat P^2\over 2}+{\hat Q^2\over 2}+g{\hat Q^3\over 3}$$ con las relaciones canónicas de conmutación obtenidas de la prescripción de Dirac. Estamos en la imagen de Heisenberg. Como deberías comprobar (tomando conmutadores con el hamiltoniano) la ecuación cuántica de movimiento es: $$\ddot {\hat Q} +\hat Q + g\hat Q^2=0$$
Esta es la primera parte anterior; como ves ambas ecuaciones son formalmente iguales.

Sin embargo, físicamente —más que formalmente— nos interesa más la evolución de los valores esperados de los observables que la evolución de los propios operadores.$\hat Q$en la imagen de Heisenberg (estos operadores no dependen del tiempo en la imagen de Schrödinger y la física no puede depender de la imagen que los humanos decidan usar). Entonces, podemos tomar el valor esperado de la ecuación anterior en un estado genérico$|\Psi \rangle$

$$\frac{d^2}{dt^2} {\langle \Psi |\hat Q|\Psi\rangle }+\langle \Psi |\hat Q|\Psi\rangle + g\langle \Psi |\hat Q^2|\Psi\rangle =0$$ Tenga en cuenta que, dado que estamos en la imagen de Heisenberg, los estados físicos no evolucionan en el tiempo y podemos escribir las derivadas del tiempo a partir del valor esperado. La gran pregunta es: ¿Esta ecuación implica que el valor esperado del observable cuántico (la cosa física) evoluciona clásicamente? Y la respuesta es rotundamente negativa porque: $$\langle \Psi |\hat Q^2|\Psi\rangle \neq\langle \Psi |\hat Q|\Psi\rangle ^2$$ es decir: en general, el valor esperado del cuadrado no es el cuadrado del valor esperado (la diferencia es el cuadrado de la desviación estándar o indeterminación).

En el$g=0$En caso de que el último término esté ausente, la ecuación es lineal y la evolución del valor esperado cuántico es clásica. es decir llamando$q\equiv \langle \Psi |\hat Q|\Psi\rangle$:

$$\ddot q + q=0$$ que es la ecuación clásica (con $g=0$).