Ambigüedad de pedido en hamiltoniano cuántico

Bueno, la métrica en el espacio de destino ( que no debe confundirse con la métrica del espacio-tiempo )$g_{ij}$parece

$$g_{ij}\sim \delta_{ij}+(C_{ijkl}X^{k}X^{l})+\mathcal{O}(X^{4}).$$ Podemos invertir esto, obteniendo ("para pequeños $X$") $$g^{ij}\sim \delta^{ij}-{D^{ij}}_{kl}X^{k}X^{l}+\mathcal{O}(X^{4})$$ dónde ${D^{ij}}_{kl}$son "algunos coeficientes" que podríamos averiguar si nos vemos obligados a hacerlo.

Realmente, para probar la ambigüedad del orden del operador en el hamiltoniano, solo tienes que demostrar que

$$H\approx g^{ij}P_{i}P_{j} = \delta^{ij}P_{i}P_{j}-{D^{ij}}_{kl}X^{k}X^{l}P_{i}P_{k}+\mathcal{O}(X^{4}P^{2})$$ tiene ambigüedades cuando se cuantifica.

¿Cómo? Bueno, considere el caso más simple de una partícula unidimensional. Vemos que los corchetes de Poisson satisfacen

$$\tag{1}p^{2}x^{2}=(px)^{2}=\{x^{3},p^{3}\}-p^{2}x\{x^{2},p\}-\{x^{3},p\}p^{2}.$$ Woah, ¿cómo conseguimos esta igualdad? Bueno, usamos la propiedad $$\{fg,h\}=f\{g,h\}+g\{f,h\},\quad\mbox{and}\quad\{f,gh\}=g\{f,h\}+h\{f,g\}.$$ Entonces consideramos $\{x^{3},p^{3}\}$y hacer algo de álgebra. Pero cuando (1) se cuantifica, estas igualdades fallan gravemente. No está claro (o es ambiguo ) qué es importante cuantificar y cómo hacerlo.

En otras palabras, si tenemos la cuantización como un mapa

$$Q:\mathrm{classical}\to\mathrm{quantum}$$ satisfactorio:

1. la cuantización "pone sombreros" en la posición y el impulso:$Q(x)=\widehat{x}$y$Q(p)=\widehat{p}$, y están "representados irreductiblemente" (esta es una condición técnica, ¡no se preocupe demasiado por eso!);
2. $Q$es lineal, entonces$Q(c_{1}f+c_{2}g)=c_{1}Q(f)+c_{2}Q(g)$dónde$f,g$son funciones de impulso y posición;
3. Los corchetes venenosos se vuelven$\displaystyle Q(\{f,g\})=\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}[Q(f),Q(g)]$;
4. El número 1 se asigna al operador de identidad.$Q(1)=\mathrm{id}$.

Tenemos problemas tratando de evaluar$Q(x^{2}p^{2})$. Tenemos

$$Q(x^{2}p^{2})\stackrel{??}{=}Q(x)^{2}Q(p)^{2}\stackrel{??}{=}Q(xp)^{2}?$$ ¿Qué sucede con la ecuación (1)? es ambiguo :(

Para obtener más información sobre las ambigüedades en el orden de los operadores, consulte S. Twareque Ali, Miroslav Engliš "Quantization Methods: A Guide for Physicists and Analysts" arXiv:math-ph/0405065 .

También este hamiltoniano está relacionado con el laplaciano, que no puedo entender, ¿por qué?

Cuando trabajamos con un modelo sigma lineal, tenemos$g_{ij}=\delta_{ij}$y recuperamos el hamiltoniano habitual como el laplaciano (hasta alguna constante).

Esto se puede ver en la fórmula, y observando en este caso particular$g^{ij}=\delta^{ij}$entonces encontramos

$$H = \frac{1}{2}\delta^{ij}P_{i}P_{j} = \frac{1}{2}P^{i}P_{i}$$ De nuevo, hasta alguna constante. (Vea la ecuación (10.70) del libro que está leyendo y encuentre $P_{i}=\mathrm{i}\partial/\partial X^{i}$)

Y nuevamente, no confunda la "métrica del espacio objetivo"$g_{ij}$con la "métrica del espacio-tiempo" que creo que denotas por$\eta_{ij}$(más adelante en el libro, creo que los autores usan$h_{ij}$para la "métrica del espacio-tiempo").

Los autores dicen que en la teoría cuántica la expresión anterior es ambigua, porque X y P no se conmutan. Por lo tanto, hay muchas elecciones cuánticas no equivalentes para H reducido al mismo objeto clásico. No soy capaz de resolver esto.

Si revisa el texto , verá que los autores han proporcionado la relación de conmutación en la ecuación 10.70 como:

$$[X^i,P_j] = i\delta_j^i$$

lo que le dice que X y P no son conmutativos y la operación de conmutación produce un número imaginario (y esta ecuación podría entenderse como$\dfrac{1}{X}P-P\dfrac{1}{X} = i$).

La ecuación a la que hace referencia en realidad está escrita como:

$$H = \dfrac{1}{2}g^{ij}(X)P_iP_j$$

La variable de posición X es importante ya que el impulso se entiende clásicamente como$mass \times velocity$entonces$p^2 = m^2v^2$y la energía cinética es$\dfrac{1}{2}mv^2$. Entonces el$g^{ij}(X)$está teniendo lugar de un término de masa inversa para mantenerse consistente con la ecuación de energía clásicamente definida.

El problema surge si alguien está tratando de resolver un valor desconocido en la ecuación. Imagina que conoces H y X y quieres resolver para P, podrías obtener alguna respuesta para P y asumir que todo está bien, sin embargo, si por alguna razón tienes el valor de P que acabas de calcular, así como el valor de H , y luego tratas de resolver X, te encuentras con problemas, porque X y P no son conmutativos, no obtendrás el mismo valor de X con el que comenzaste y, como se definió, debes incluir un componente imaginario.

Esto es lo que significa ambigüedad, conocer dos componentes de la ecuación no le dará un valor definitivo para el tercero, solo un rango de valores.

En cuanto a la relación con el laplaciano , si uno observa la ecuación de Schrödinger , puede ver que el término del operador de energía cinética es:

$$-\dfrac{\hbar}{2m}\nabla^2$$

entonces, si uno compara esto con la ecuación a la que hace referencia, debería quedar claro que los símbolos de momento (P) están tomando el lugar del operador laplaciano.