Demostración de Lang del Lema de Zassenhaus

En el Álgebra de Serge Lang , se da la siguiente prueba del lema de la mariposa (Zassenhaus):

Lema 3.3. (Mariposa Lema.) (Zassenhaus) Let$U, V$ser subgrupos de un grupo. Dejar$u, v$ser subgrupos normales de$U$y$V$, respectivamente. Entonces

$$\begin{array}{l} u(U \cap v) \quad \text { is normal in } \quad u(U \cap V) \\ (u \cap V) v \quad \text { is normal in }(U \cap V) v \end{array}$$ y los grupos de factores son isomorfos, es decir $$u(U \cap V) / u(U \cap v) \approx(U \cap V) v /(u \cap V) v$$ prueba _ La combinación de grupos y grupos de factores queda clara si se visualiza el siguiente diagrama de subgrupos (que da nombre al lema):

En este diagrama, nos dan$U, u, V, v .$Todos los demás puntos en el diagrama corresponden a ciertos grupos que se pueden determinar de la siguiente manera. La intersección de dos segmentos de línea que van hacia abajo representa la intersección de grupos. Dos líneas que van hacia arriba se encuentran en un punto que representa el producto de dos subgrupos (es decir, el subgrupo más pequeño que contiene a ambos).

Consideramos los dos paralelogramos que representan las alas de la mariposa y daremos los isomorfismos de los grupos de factores como sigue:

$$\frac{u(U \cap V)}{u(U \cap v)} \approx \frac{U \cap V}{(u \cap V)(U \cap v)} \approx \frac{(U \cap V) v}{(u \cap V) v}$$ De hecho, el lado vertical común a ambos paralelogramos tiene$U \cap V$como su punto final superior, y$(u \cap V)(U \cap v)$como su punto final inferior. tenemos un isomorfismo $$(U \cap V) /(u \cap V)(U \cap v) \approx u(U \cap V) / u(U \cap v)$$ Esto se obtiene del teorema del isomorfismo $$H /(H \cap N) \approx H N / N$$ configurando$H=U \cap V$y$N=u(U \cap v)$. Esto nos da el isomorfismo de la izquierda. Por simetría obtenemos el correspondiente isomorfismo de la derecha, que prueba el lema de la mariposa.

Entiendo la mayor parte de esta prueba, sin embargo, hay un punto que parece que no puedo descifrar. Lang usa el segundo teorema de isomorfismo que requiere$H$estar contenido en el normalizador de$N$. no entiendo porque$H$=$U$$\cap$$V$está contenido en el normalizador de$N$=$u$($U$$\cap$$v$). Este es probablemente un problema de manipulación simple, pero no veo por qué esto es cierto.