¿Es posible reconstruir el hamiltoniano a partir del conocimiento de su función de onda de estado fundamental?

SI sabes que tu hamiltoniano es de la forma

Sin embargo, es importante tener en cuenta que este procedimiento garantiza que su inicial$\Psi_0$será un estado propio del hamiltoniano resultante, pero no excluye la posibilidad de que$\hat H$admitirá un estado fundamental separado con menor energía. Como un ejemplo muy claro de ello, si$\Psi_0$es una función 1D con un nodo, entonces (debido a que los estados básicos 1D no tienen nodos ) tiene garantizado un único$V(x)$tal que$\Psi_0$es un estado propio, pero nunca será el estado fundamental.

Si no sabe que su hamiltoniano tiene esa estructura, no hay (en el caso general) ninguna información que pueda extraer sobre el hamiltoniano solo del estado fundamental.

• Como ejemplo sencillo, sin alejarnos demasiado de nuestro hamiltoniano inicial en$(1)$, considere que hamiltoniano en coordenadas polares,

  $$\hat H=\frac{-\hbar^2}{2m}\left(\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} r^2\frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{\hbar ^2r^2}L^2\right)+V(r),$$ donde estoy asumiendo$V(\mathbf r)=V(r)$es esféricamente simétrico y encapsula la dependencia angular en el operador de momento angular total$L^2$.

  Supongamos, entonces, que les doy su estado fundamental, y que es un estado propio de$L^2$con valor propio cero (como, por ejemplo, el estado fundamental del hamiltoniano hidrogenado). ¿Cómo saber si el hamiltoniano que lo creó es$H$o una versión similar,

  $$\hat H{}'=\frac{-\hbar^2}{2m}\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} r^2\frac{\partial}{\partial r} +V(r),$$ sin componente de momento angular? Ambas versiones tendrán$\Psi_0$como un estado fundamental (aunque aquí$\hat H'$tendrá una degeneración salvaje en cada espacio propio, para ser justos). Continuando con este pensamiento, ¿qué pasa con $$\hat H{}''=\frac{-\hbar^2}{2m}\left(\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} r^2\frac{\partial}{\partial r} + f(r)L^2\right)+V(r),$$ donde he introducido una función real arbitraria$f(r)$detrás del momento angular? Esto no afectará a la$\ell=0$estados, pero llevará el resto del espectro a quién sabe dónde. (De hecho, incluso puede agregar una función arbitraria de$L_x$,$L_y$y$L_z$, mientras estás en eso.)

• De manera un poco más general, cualquier operador autoadjunto que desaparezca en$\left|\Psi_0\right>$se puede agregar al hamiltoniano para obtener un operador que tenga$\left|\Psi_0\right>$como estado propio. Como una construcción simple, dado cualquier operador autoadjunto$\hat A$, la combinación

  $$\hat H {}''' = E_0 \left|\Psi_0\right>\left<\Psi_0\right| + \left(\mathbf 1 - \left|\Psi_0\right>\left<\Psi_0\right| \right) \hat A \left(\mathbf 1 - \left|\Psi_0\right>\left<\Psi_0\right| \right)$$ (donde los factores entre paréntesis están ahí para modificar$\hat A$en desaparecer en$\left|\Psi_0\right>$y su conjugado) siempre tendrá$\left|\Psi_0\right>$como estado propio.

Incluso si conoce todos los estados propios, todavía no es suficiente información para reconstruir el hamiltoniano, porque no le permiten distinguir entre, digamos,$\hat H$y$\hat{H}{}^2$. Por otro lado, si conoce todos los estados propios y sus valores propios, simplemente puede usar la descomposición espectral para reconstruir el hamiltoniano.

En general, si realmente insiste, probablemente haya una compensación entre lo que sabe sobre la estructura del hamiltoniano (por ejemplo, "de la forma$\nabla^2+V$" frente a ninguna información en absoluto) y cuántos estados propios y valores propios necesita para reconstruirlo completamente (un solo par frente a todo), especialmente si permite reconstrucciones aproximadas. Dependiendo de dónde coloque un control deslizante, obtendrá obtener una lectura diferente en el otro.

Sin embargo, a menos que tenga un problema específico que resolver (como reconstruir un hamiltoniano de forma vagamente conocida a partir de un conjunto específico de datos experimentales finitos), definitivamente no vale la pena explorar los detalles de este continuo de compensaciones más allá del conocimiento de que existe y los extremos que anoté arriba.

Suponga por simplicidad que todos los operadores están acotados. Si conoces la función de onda$\psi$asociado con el estado fundamental del hamiltoniano desconocido$H$, después$H$tiene la forma

No hay una prueba analítica, pero la evidencia numérica sugiere que si sabe que el hamiltoniano es local y satisface la hipótesis de termalización del estado propio (lo que hacen la mayoría de los hamiltonianos locales), entonces puede extraer todo el hamiltoniano de un solo estado propio excitado , aunque no de el estado fundamental: https://arxiv.org/abs/1503.00729 .

Si la parte desconocida del hamiltoniano es potencial$V({\bf{r}})$, entonces puedes escribir una ecuación de Schrödinger estacionaria y averiguar cuál debería ser el potencial.