La convergencia en probabilidad implica convergencia en cuantil de cuantil inverso.

Mostramos aquí algo más fuerte : convergencia casi segura de cumulantes.

Sin pérdida de generalidad considere el espacio de probabilidad$((0,1),\mathscr{B}(0,1)),\lambda)$dónde$\lambda$es la medida LEbesue restringida al intervalo unitario$(0,1)$. La función$U(t)=t$es una variable aleatoria distribuida uniformemente.

Algunas observaciones iniciales:

• Para cualquier medida$\mu$en la línea real definir$F_\mu(x)=\mu((-\infty,x])$($F_\mu$se conoce como la distribución de probabilidad acumulada de medida$\mu$). Observe que (a)$F_\mu$es monótona no decreciente, (b) continua por la derecha con límites por la izquierda, (c) y$\lim_{x\rightarrow-\infty}F_\mu(x)=0$,$\lim_{x\rightarrow\infty}F_\mu(x)=1$. Por el contrario, función$F$que satisface (a)-(c) produce una medida única$\mu$en$(\mathbb{R},\mathscr{B}(\mathbb{R}))$tal que$F_\mu=F$.

• Dada una medida de probabilidad$\mu$en$(\mathbb{R},\mathscr{B}(\mathbb{R}))$, la función cuantil$Q_\mu:(0,1)\rightarrow\mathbb{R}$Se define como

  $$\begin{align} Q_\mu(t)=\inf\{x\in\mathbb{R}: F_\mu(x)\geq t\} \end{align}$$ Por monotonicidad y derecha-continuidad de$F$, es fácil comprobar que$Q_\mu$satisface $$\begin{align} F_\mu(Q(t))\geq t,&\qquad t\in(0,1)\tag{0}\label{zero}\\ F_\mu(x)\geq t\quad &\text{iff}\qquad Q_\mu(t)\leq x \tag{1}\label{one} \end{align}$$ de donde se sigue que $$\lambda\big(\{t\in(0,1): Q_\mu(t)\leq x\}\big)=\lambda\big(t\in(0,1): F_\mu(x)\geq t\}\big)=F_\mu(x)$$ Por eso$Q_\mu$es una variable aleatoria en$(0,1)$cuya distribución es$\mu$. Está claro por definición de la función cuantil que$Q_\mu$es monótono, no decreciente y continuo por la izquierda con límites por la derecha.

Solución al OP:

Dejar$\mu_n$la medida con distribución acumulativa$F_n$y$\mu$la medida con distribución acumulativa$F$.

1. Entonces,$Q_n:=Q_{\mu_n}$y$Q:=Q_\mu$son variables aleatorias con distribuciones$\mu_n$y$\mu$respectivamente. Dejar$D$ser los puntos de ajuste en$(0,1)$en el cual$Q$es discontinuo. Desde$Q$es monótono,$D$es a lo sumo contable y así,$\lambda(D)=0$, es decir,$Q$es continuo casi seguro (as)

2. Recordar que$\mu_n$converge débilmente a$\mu$si y si$F_n(x)\xrightarrow{n\rightarrow\infty}F(x)$para$x$dónde$F$es continuo Desde$F$es monótono, el conjunto de discontinuidades de$F$es contable.

3. Afirmamos que$Q_n(t)\xrightarrow{n\rightarrow\infty}Q(t)$para todos$t\in(0,1)\setminus D$y por lo tanto,$Q_n\xrightarrow{n\rightarrow\infty}Q$casi seguro. Dejar$t\in(0,1)\setminus D$. Si$y$es un punto de continuidad de$F$con$y<Q(t)$, tenemos de$\eqref{one}$eso$F(y)<t$. Desde$F_n(y)\xrightarrow{n\rightarrow\infty}F(y)$, hay$N\in\mathbb{N}$tal que$F_n(y)<t$para todos$n\leq N$. De nuevo, por$\eqref{one}$,$Q_n(t)>y$para todos$n\geq N$. Por eso$\liminf_nQ_n(t)\geq y$. Alquiler$y\nearrow Q(t)$a lo largo de los puntos de continuidad de$F$rendimientos

   $$\begin{align} Q(t)\leq\liminf_nQ_n(t)\tag{2}\label{two} \end{align}$$ Ahora, desde$t\in (0,1)\setminus D$, dado$\varepsilon>0$, hay$\delta>0$tal que si$t<t'<t+\delta$,$Q(t)\leq Q(t')<Q(t)+\varepsilon$. Arreglar$t'\in(t,t+\delta)$, y deja$z\in(Q(t'),Q(t)+\varepsilon)$en el cual$F$es continuo Luego, por monotonía de$F$y$\eqref{zero}$,$F(z)\geq F(Q(t'))\geq t'>t$. Desde$F_n(z)\xrightarrow{n\rightarrow\infty}F(z)$, hay$N'\in\mathbb{N}$tal que$F_n(z)>t$para todos$n\geq N'$. Por$\eqref{one}$,$Q_n(t)\leq z$para todos$n\geq N$. Como consecuencia$\limsup_nQ_n(t)\leq z$. Alquiler$z\searrow Q(t')$a lo largo de los puntos de continuidad de$F$rendimientos$\limsup_nQ(t)\leq Q(t')<Q(t)+\varepsilon$. Como$\varepsilon>0$puede tomarse arbitrariamente pequeño, obtenemos $$\begin{align} \limsup_nQ_n(t)\leq Q(t)\tag{3}\label{three}\end{align}$$ Combinatorio$\eqref{two}$y$\eqref{three}$da $$\lim_nQ_n(t)=Q(t),\qquad t\in(0,1)\setminus D$$

Este es un hecho estándar sobre el método inverso .

Para$n=0,1,\ldots$y$u\in(0,1)$, dejar

Ahora mostramos que$G_n(u)\to G(u)$para todos$u\in(0,1)$tal que$G_0$es continua en$u$.

1. Dejar$0<\varepsilon<u$. Dejar$x\in\mathbb R$ser tal que$F_0(x)\le u-\varepsilon$. Hasta elegir arbitrariamente más cerca$x$, podemos suponer que$F_0$es continua en$x$. Entonces la débil convergencia de las distribuciones da$F_n(x)\to F_0(x)$como$n\to\infty$. En particular$F_n(x)\le F_0(x)+\varepsilon$para todos$n$lo suficientemente grande. Esto implica que$x\le G_n(F_0(x)+\varepsilon)$para tal$n$, y luego (porque$F_0(x)\le u-\varepsilon$),$x\le G_n(u)$. De este modo $$\liminf_{n\to\infty}G_n(u)\ge x$$ para cualquier elegido$x$con$F_0(x)\le u-\varepsilon$, entonces $$\liminf_{n\to\infty}G_n(u)\ge G_0(u-\varepsilon)$$ por definición de$G_0(u-\varepsilon)$. Como$\varepsilon$ fue arbitrario y$G_0$se supone que es continua en$u$, deducimos que $$\liminf_{n\to\infty}G_n(u)\ge G_0(u).$$
2. Para la otra dirección, deje$x>G_0(u)$. Entonces$F_0(x)>u$y nuevamente, la convergencia en la distribución da$F_n(x)>u$para todos$n$lo suficientemente grande, por lo que$G_n(u)\le x$. Por eso $$\limsup_{n\to\infty}G_n(u)\le x.$$ Esto vale para todos$x>G_0(u)$entonces $$\limsup_{n\to\infty}G_n(u)\le G_0(u).$$

Por lo tanto$G_n(u)\to G_0(u)$ para todo el punto$u\in(0,1)$de continuidad de$G_0$. Como una variable uniforme$U\in(0,1)$es casi seguro un punto de continuidad de$G_0$, lo conseguimos$G_n(U)\to G_0(U)$casi seguro (y obviamente también en probabilidad).

*: También encontramos (quizás más a menudo) los inversos continuos a la izquierda$\inf\:\{x\in\mathbb R:F_n(x)\ge u\}$por lo que el hecho anterior puede probarse de manera similar.