¿Teorema de Prokhorov en el espacio de Hausdorff localmente compacto?

El teorema de Prokhorov da una condición de compacidad en el espacio de medidas de probabilidad en un espacio polaco. Me pregunto si tenemos condiciones similares para las medidas de probabilidad en espacios más generales, por ejemplo, espacios de Hausdorff localmente compactos, lo que me parece un escenario más natural de la teoría de la medida.

Sin embargo, dado que las pruebas que he visto para el teorema de Prokhorov dependen en gran medida de la completitud y la separabilidad del espacio subyacente, no ayudan mucho cuando se intenta extender el resultado a espacios más generales. Y, según mi mejor suposición, tal extensión se basaría en técnicas de análisis funcional.

Entonces, ¿realmente tenemos tal condición para espacios más generales?

¡Gracias!

Debería plantear esto como una pregunta. Mi impresión es que la de Prokhorov es una afirmación sobre la compacidad secuencial. El conjunto de medidas de probabilidad, como el dual de C 0 ( X ) , es compacto en los débiles ∗ topología para cualquier LCH X por el teorema de Banach-Alaoglu. Para hacer que los débiles - ∗ topología metrizable, se necesitan condiciones de separabilidad en X o impone restricciones a las medidas consideradas (como estanqueidad uniforme).
En cuanto a que los espacios LCH son más naturales: uno de los principales ámbitos de aplicación de la teoría de la medida es la probabilidad. En probabilidad, los espacios polacos son muy útiles. Una manera simple de pensar en esto es tan pronto como esté interesado en los procesos estocásticos (básicamente un término anticuado para "funciones aleatorias"), está haciendo teoría de la medida en un espacio de funciones, que generalmente no es localmente compacto. . Muchas construcciones del movimiento browniano, por ejemplo, se valen del Teorema de Prokhorov. Lo mismo para los procesos puntuales (que se pueden analizar como medidas aleatorias). Consulte el libro de Billingsley para obtener más información.

Respuestas (1)

Existe una versión del teorema de Prokhorov sobre espacios de Hausdorff localmente compactos, pero parece sorprendentemente difícil localizarla en la literatura.

Una referencia (que da simultáneamente las versiones LCH y espacial polaca) es la Integración de Bourbaki. Capítulo IX , Sección 5.5, Théorème 1 + Théorème 2 (cada teorema da una implicación). Voy a resumir.

Definición (condición de Prokhorov) Sea H ser una colección de medidas complejas en un espacio topológico X . H es Prokhorov si

  1. las variaciones totales | m | ( X ) de m ∈ H están uniformemente acotadas y

  2. para cada ε > 0 hay un compacto k = k ε ⊆ X tal que | m | ( X − k ) < ε para todos m ∈ H .

Entonces:

Teorema 1 (Prokhorov ⇒ compacto) Un conjunto de Prokhorov de medidas complejas en un espacio completamente regular X (en particular, un espacio LCH o un espacio métrico) es relativamente compacto en el débil ∗ topología en medidas complejas relativas a las funciones continuas acotadas en X .

Teorema 2 (compacto ⇒ Prokhorov) Si X es LCH o métrica completa separable entonces un débil ∗ -conjunto compacto de medidas positivas finitas en X es Projorov.

Esta versión también se puede encontrar como Teorema 8.6.7. en Teoría de la medida de Bogachev Volumen 2.
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