El einbein en la acción de partículas puntuales masivas relativistas [cerrado]

Question

El einbein en la acción de partículas puntuales masivas relativistas [cerrado]

acción
Física
partículas puntuales
relatividad general
formalismo lagrangiano
principio variacional

cuarc

La acción de una partícula puntual masiva relativista que se mueve en el espacio-tiempo es

S = - metro \int d τ \sqrt{{gramo}_{v ρ} \frac{d X^{v}}{d τ} \frac{d X^{ρ}}{d τ}}

$S=-m\int d\tau \sqrt{g _{\nu \rho}\frac{dx^{\nu}}{d\tau}\frac{dx^{\rho}}{d\tau}}$

[con la convención de signos de Minkowski $(+,-,-,-)$ ]. Debido a la raíz cuadrada en la acción, se introduce el campo de einbein $e$ y la acción se convierte

S = 1 / 2 \int d τ ({mi}^{- 1} {\dot{X}}^{2} - mi {metro}^{2}) .

$S=1/2\int d\tau(e^{-1}\dot{X}^{2}-em^{2}).$

Entiendo esto, pero no puedo encontrar la expresión de la acción con el campo einbein.

una mente curiosa

Eso es muy malo, pero ¿dónde está la pregunta aquí?

cuarc

¿Cómo se te ocurre la acción que tiene el campo de einbein? Sé que esto suena trivial. Aún no estudié relatividad general.

cuarc

¿Entiendes lo que estoy preguntando aquí?

una mente curiosa

No en realidad no. Las acciones no se derivan, se postulan ( motivadas por algún tipo de simetría, pero esencialmente, escribir una acción es una conjetura que define la teoría).

cuarc

Sí . Sé que no son derivados. El problema es que no puedo adivinar eso antes de leer la acción postulada del libro.

Respuestas (1)

El einbein en la acción de partículas puntuales masivas relativistas [cerrado]

¿Cómo se te ocurre la acción que tiene el campo de einbein? Sé que esto suena trivial. Aún no estudié relatividad general.
No en realidad no. Las acciones no se derivan, se postulan ( motivadas por algún tipo de simetría, pero esencialmente, escribir una acción es una conjetura que define la teoría).
Sí . Sé que no son derivados. El problema es que no puedo adivinar eso antes de leer la acción postulada del libro.

Yuri · Answer 1

La historia es la siguiente. Empezamos con la acción invariante de Poincaré más simple que no depende de la parametrización

S = - metro \int d yo = - metro \int \sqrt{- d s^{2}}

$S=-m\int dl=-m\int\sqrt{-ds^2}$ aquí

d s^{2}

$ds^2$ es el intervalo. Podemos reescribirlo como

S = - metro \int \sqrt{d X^{m} d X^{v} η_{m v}}

$S=-m\int\sqrt{dX^\mu dX^\nu \eta_{\mu\nu}}$ aquí

η_{μ ν}

$\eta_{\mu\nu}$ es la métrica de Minkowski. Ahora bien, si suponemos que

X^{μ}

$X^\mu$ depender solo de

τ

$\tau$ obtenemos

d X^{μ} = {\dot{X}}^{μ} d τ

$dX^\mu=\dot{X}^\mu d\tau$

S = - metro \int d τ (- {\dot{X}}^{m} {\dot{X}}_{m})^{1 / 2} .

$S=-m\int d\tau (-\dot{X}^\mu\dot{X}_\mu)^{1/2}.$

Ahora notamos (suponemos y luego comprobamos) que la acción anterior es equivalente a la siguiente

S^{'} = \frac{1}{2} \int d τ (η^{- 1} {\dot{X}}^{m} {\dot{X}}_{m} - η {metro}^{2}) .

$S'=\frac{1}{2}\int d\tau(\eta^{-1}\dot{X}^\mu\dot{X}_\mu-\eta m^2).$ Y de hecho la ecuación de movimiento para

η

$\eta$ (que se obtiene de

\frac{δ S}{δ η} = 0

$\displaystyle{\frac{\delta S}{\delta \eta}=0}$ ) es

η^{2} = - \frac{{\dot{X}}^{m} {\dot{X}}_{m}}{{metro}^{2}} .

$\eta^2=-\frac{\dot{X}^\mu\dot{X}_\mu}{m^2}.$ Ahora bien, si sustituyes esta expresión en

S^{'}

$S'$ obtienes la acción original

S

$S$ .

El einbein en la acción de partículas puntuales masivas relativistas [cerrado]

cuarc

una mente curiosa

cuarc

cuarc

una mente curiosa

cuarc

Respuestas (1)

Yuri

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