Una pregunta sobre el Lagrangiano para una partícula puntual masiva o sin masa

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Una pregunta sobre el Lagrangiano para una partícula puntual masiva o sin masa

acción
Física
relatividad
partículas puntuales
formalismo lagrangiano
principio variacional

keith

En mi conferencia aprendí que la acción que se puede aplicar al rayo de luz se escribe a continuación:

\begin{matrix} (1) & S [X; mi] = (1 / 2) \int [(1 / mi) {gramo}_{a b} {\dot{X}}^{a} {\dot{X}}^{b} - {metro}^{2} mi] d s \end{matrix}

$\begin{equation*} S[x;e]=(1/2)\int [(1/e)g_{ab}\dot x^a\dot x^b-m^2e]ds \tag{1} \end{equation*}$ dónde

s

$s$ es la variable que sustituye el papel del tiempo y

e (s) > 0

$e(s)>0$ se dice que es otra variable auxiliar que es similar al multiplicador de Lagrange. El símbolo de punto en

x

$x$ significa diferenciación con respecto a

s

$s$ y

a

$a$ ,

b

$b$ rangos desde

0

$0$ a

3

$3$ .

Entonces cuando $m>0$ , la nota de la conferencia establece

\begin{matrix} (2) & \frac{d S}{d mi} = 0 \end{matrix}

$\frac{\delta S}{\delta e}=0\tag{2}$ y derivar

\begin{matrix} (3) & (- {gramo}_{a b} {\dot{X}}^{a} {\dot{X}}^{b}) / {mi}^{2} - {metro}^{2} = 0. \end{matrix}

$(-g_{ab}\dot x^a\dot x^b)/e^2-m^2=0.\tag{3}$

Aquí está mi pregunta. ¿Qué diablos hace $\frac{\delta S}{\delta e}$ ¿significar? ¿Y por qué ponerlo a cero? ¿No es que por lo general eso $\delta S=0$ ? Estoy muy confundido.

Bob Knighton

Esa es la derivada funcional de la acción con respecto a la tétrada (

e

$e$ ) campo. En general,

δ S / δ ϕ = 0

$\delta S/\delta\phi=0$ es la ecuación de movimiento para algún campo

ϕ

$\phi$ que aparece en su Lagrangiano. Esto es equivalente a

δ S = 0

$\delta S=0$ . Ambas ecuaciones te dicen que estás en un punto crítico en el espacio de configuración.

Bob Knighton

Usando la regla de la cadena,

δ S = (δ S / δ e) δ e + (δ S / δ x) δ x + \dots

$\delta S=(\delta S/\delta e)\delta e+(\delta S/\delta x)\delta x+\cdots$ , de modo que

δ S = 0

$\delta S=0$ implica ambos

δ S / δ e = 0

$\delta S/\delta e=0$ y

δ S / δ x = 0

$\delta S/\delta x=0$ .

Respuestas (1)

Una pregunta sobre el Lagrangiano para una partícula puntual masiva o sin masa

Esa es la derivada funcional de la acción con respecto a la tétrada ( $e$ ) campo. En general, $\delta S/\delta\phi=0$ es la ecuación de movimiento para algún campo $\phi$ que aparece en su Lagrangiano. Esto es equivalente a $\delta S=0$ . Ambas ecuaciones te dicen que estás en un punto crítico en el espacio de configuración.
Usando la regla de la cadena, $\delta S=(\delta S/\delta e)\delta e+(\delta S/\delta x)\delta x+\cdots$ , de modo que $\delta S=0$ implica ambos $\delta S/\delta e=0$ y $\delta S/\delta x=0$ .

qmecanico · Answer 1

$e$ es un campo de einbein de línea de mundo . Es un campo auxiliar no dinámico en el sentido de que $\dot{e}$ no es presente.
En el caso masivo $m>0$ : Si integramos el $e$ -campo, la acción (1) toma la forma familiar de raíz cuadrada. Por el contrario, uno puede ver la introducción de $e$ como un truco para deshacerse de la raíz cuadrada.
En el caso sin masa $m=0$ : $\delta S /\delta e\approx 0$ implementa una restricción de cono de luz.
Para obtener más información, consulte, por ejemplo , this , this y this Phys.SE posts relacionados.

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keith

Bob Knighton

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