Determinante de una matriz triangular

Dejar

$$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ & & \ddots & \\ & & & a_{nn}\end{pmatrix}$$

sea ​​su matriz triangular superior. Expandiendo la columna más a la izquierda, la fórmula de expansión del cofactor te dice que el determinante de$A$es

$$a_{11} \cdot \textrm{det} \begin{pmatrix} a_{22} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ & a_{33} & \cdots & a_{3n} \\ & & \ddots & \\ & & & a_{nn}\end{pmatrix}$$ Ahora este más pequeño $(n-1)$por $(n-1)$La matriz también es triangular superior, por lo que puede calcularla como $a_{22}$veces un $(n-2)$por $(n-2)$determinante triangular superior:

$$\textrm{det } A = a_{11} a_{22} \cdot \textrm{det} \begin{pmatrix} a_{33} & a_{34} & \cdots & a_{3n}\\ & a_{44} & \cdots & a_{4n} \\ & & \ddots & \\ & & & a_{nn}\end{pmatrix}$$

Al iterar este argumento, eventualmente obtendrá

$$\textrm{Det } A = a_{11} \cdots a_{n-2,n-2} \cdot \textrm{det} \begin{pmatrix} a_{n-1,n-1} & a_{n-1,n} \\ & a_{nn} \end{pmatrix} = a_{11} \cdots a_{nn}$$

Dejar${\rm U}_n$ser un invertible$n \times n$ matriz triangular superior . Dejar

$${\rm U}_{n+1} := \begin{bmatrix} {\rm U}_n & {\rm c}_{n+1}\\ {\rm 0}_n^\top & u_{n+1}\end{bmatrix}$$

Usando el complemento de Schur,

$$\det \left( {\rm U}_{n+1} \right) = \det \begin{bmatrix} {\rm U}_n & {\rm c}_{n+1}\\ {\rm 0}_n^\top & u_{n+1}\end{bmatrix} = \left( u_{n+1} - {\rm 0}_n^\top {\rm U}_n^{-1} {\rm c}_{n+1} \right) \det \left( {\rm U}_{n} \right) = u_{n+1} \det \left( {\rm U}_{n} \right)$$

Dejar${\rm U}_{1} =: u_1$. Por eso,

$$\begin{aligned} \det \left( {\rm U}_{1} \right) &= u_1\\ \det \left( {\rm U}_{2} \right) &= u_2 \, u_1\\ &\vdots\\ \det \left( {\rm U}_{n} \right) &= \color{blue}{u_n \, u_{n-1}\cdots u_2 \, u_1} \end{aligned}$$

El caso donde${\rm U}_n$es no -invertible se deja como ejercicio para el lector.

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