Simplificación de una expresión con productos ∏1≤i El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-04-03T01:55:24.393Z pedro El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-04-03T01:55:24.393Z El determinante de una matrizC= (Cyo j)norte × norte C = ( C i j ) norte × norte C=(c_{ij})_{n\times n}cuyas entradas tienen la formaCyo j=1ai+bj C i j = 1 a i + b j c_{ij}=\frac{1}{a_i+b_j}es dado por detalle C=∏1 ≤ yo < j ≤ norte(ai−aj) (bi−bj)∏1 ≤ yo , j ≤ norte(a1+bi). det C = ∏ 1 ≤ i < j ≤ norte ( a i − a j ) ( b i − b j ) ∏ 1 ≤ i , j ≤ norte ( a 1 + b i ) . \det C=\frac{\prod_{1\leq i<j\leq n}(a_i-a_j)(b_i-b_j)}{\prod_{1\leq i,j\leq n}(a_1+b_i)}.En estas notas (p. 145), esta fórmula se aplica a ciertas matricesGRAMO GRAMO GyGRAMOmetro GRAMO metro G_m. El resultado es det G =∏1 ≤ yo < j ≤ norte(i2π2−j2π2)2∏1 ≤ yo , j ≤ norte(i2π2+j2π2),detGRAMOmetro=∏′1 ≤ yo < j ≤ norte(i2π2−j2π2)2∏′1 ≤ yo , j ≤ norte(i2π2+j2π2)(1) (1) det GRAMO = ∏ 1 ≤ i < j ≤ norte ( i 2 π 2 − j 2 π 2 ) 2 ∏ 1 ≤ i , j ≤ norte ( i 2 π 2 + j 2 π 2 ) , det GRAMO metro = ∏ 1 ≤ i < j ≤ norte ′ ( i 2 π 2 − j 2 π 2 ) 2 ∏ 1 ≤ i , j ≤ norte ′ ( i 2 π 2 + j 2 π 2 ) \det G=\frac{\prod_{1\leq i<j\leq n}(i^2\pi^2-j^2\pi^2)^2}{\prod_{1\leq i,j\leq n}(i^2\pi^2+j^2\pi^2)},\quad \det G_m=\frac{\prod^{\prime}_{1\leq i<j\leq n}(i^2\pi^2-j^2\pi^2)^2}{\prod^{\prime}_{1\leq i,j\leq n}(i^2\pi^2+j^2\pi^2)}\tag{1}"dónde′ ′ ^\primesignifica que el índicemetro metro mse ha omitido en el producto". El objetivo es calculardetGRAMOmetrodetalle G det GRAMO metro det GRAMO \frac{\det G_m}{\det G}. Una sustitución directa da detGRAMOmetrodetalle G=∏′1 ≤ yo < j ≤ norte(i2π2−j2π2)2∏′1 ≤ yo , j ≤ norte(i2π2+j2π2)⋅∏1 ≤ yo , j ≤ norte(i2π2+j2π2)∏1 ≤ yo < j ≤ norte(i2π2−j2π2)2 det GRAMO metro det GRAMO = ∏ 1 ≤ i < j ≤ norte ′ ( i 2 π 2 − j 2 π 2 ) 2 ∏ 1 ≤ i , j ≤ norte ′ ( i 2 π 2 + j 2 π 2 ) ⋅ ∏ 1 ≤ i , j ≤ norte ( i 2 π 2 + j 2 π 2 ) ∏ 1 ≤ i < j ≤ norte ( i 2 π 2 − j 2 π 2 ) 2 \frac{\det G_m}{\det G}=\frac{\prod^{\prime}_{1\leq i<j\leq n}(i^2\pi^2-j^2\pi^2)^2}{\prod^{\prime}_{1\leq i,j\leq n}(i^2\pi^2+j^2\pi^2)}\cdot \frac{\prod_{1\leq i,j\leq n}(i^2\pi^2+j^2\pi^2)}{\prod_{1\leq i<j\leq n}(i^2\pi^2-j^2\pi^2)^2}que, según las notas, debería simplificarse a detGRAMOmetrodetalle G= 2metro2π2∏′1 ≤ k ≤ norte(metro2+k2)2(metro2−k2)2.(2) (2) det GRAMO metro det GRAMO = 2 metro 2 π 2 ∏ ′ 1 ≤ k ≤ norte ( metro 2 + k 2 ) 2 ( metro 2 − k 2 ) 2 . \frac{\det G_m}{\det G}=2 m^2 \pi^2\underset{{1\leq k\leq n}}{{\prod}^{\prime}}\frac{(m^2+k^2)^2}{(m^2-k^2)^2}.\tag{2} Pregunta: Cómo manipular( 1 ) ( 1 ) (1)adecuadamente para obtener( 2 ) ( 2 ) (2)? álgebra lineal matrices métodos numéricos determinante teoría del control El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-04-03T01:55:24.393Z Guau. Entonces elπ π \pies la semicircunferencia real del círculo unitario, no una permutación escrita a la derecha... El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-04-03T01:55:24.393Z Darij Grinberg El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-04-03T01:55:24.393Z @darijgrinberg Sí, solo una constante. El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-04-03T01:55:24.393Z pedro El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-04-03T01:55:24.393Z Tengu El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-04-03T01:55:24.393Z Tenemos detGRAMOmetrodetalle G=∏′1 ≤ yo < j ≤ norte(i2π2−j2π2)2∏1 ≤ yo < j ≤ norte(i2π2−j2π2)2⋅∏1 ≤ yo , j ≤ norte(i2π2+j2π2)∏′1 ≤ yo , j ≤ norte(i2π2+j2π2). det GRAMO metro det GRAMO = ∏ 1 ≤ i < j ≤ norte ′ ( i 2 π 2 − j 2 π 2 ) 2 ∏ 1 ≤ i < j ≤ norte ( i 2 π 2 − j 2 π 2 ) 2 ⋅ ∏ 1 ≤ i , j ≤ norte ( i 2 π 2 + j 2 π 2 ) ∏ 1 ≤ i , j ≤ norte ′ ( i 2 π 2 + j 2 π 2 ) . \frac{\det G_m}{\det G}=\frac{\prod^{\prime}_{1\leq i<j\leq n}(i^2\pi^2-j^2\pi^2)^2}{\prod_{1\leq i<j\leq n}(i^2\pi^2-j^2\pi^2)^2} \cdot \frac{\prod_{1\leq i,j\leq n}(i^2\pi^2+j^2\pi^2)}{\prod^{\prime}_{1\leq i,j\leq n}(i^2\pi^2+j^2\pi^2)}. Y ∏′1 ≤ yo < j ≤ norte(i2π2−j2π2)∏1 ≤ yo < j ≤ norte(i2π2−j2π2)=1∏metro < k ≤ norte(metro2π2−k2π2)∏1 ≤ k < metro(k2π2−metro2π2),=( -1 _)metro - 1∏′1 ≤ k ≤ norte(metro2π2−k2π2). ∏ 1 ≤ i < j ≤ norte ′ ( i 2 π 2 − j 2 π 2 ) ∏ 1 ≤ i < j ≤ norte ( i 2 π 2 − j 2 π 2 ) = 1 ∏ metro < k ≤ norte ( metro 2 π 2 − k 2 π 2 ) ∏ 1 ≤ k < metro ( k 2 π 2 − metro 2 π 2 ) , = ( − 1 ) metro − 1 ∏ 1 ≤ k ≤ norte ′ ( metro 2 π 2 − k 2 π 2 ) . \begin{align*} \frac{\prod^{\prime}_{1\leq i<j\leq n}(i^2\pi^2-j^2\pi^2)}{\prod_{1\leq i<j\leq n}(i^2\pi^2-j^2\pi^2)} & = \frac{1}{\prod_{m< k \le n}(m^2\pi^2-k^2\pi^2) \prod_{1 \le k<m}(k^2\pi^2-m^2\pi^2)}, \\ & = \frac{(-1)^{m-1}}{\prod_{1 \le k \le n}^{\prime}(m^2\pi^2-k^2\pi^2)}. \end{align*}Similarmente, ∏1 ≤ yo , j ≤ norte(i2π2+j2π2)∏′1 ≤ yo , j ≤ norte(i2π2+j2π2)=∏1 ≤ k ≤ norte′(metro2π2+k2π2)2⋅ 2metro2π2. ∏ 1 ≤ i , j ≤ norte ( i 2 π 2 + j 2 π 2 ) ∏ 1 ≤ i , j ≤ norte ′ ( i 2 π 2 + j 2 π 2 ) = ∏ 1 ≤ k ≤ norte ′ ( metro 2 π 2 + k 2 π 2 ) 2 ⋅ 2 metro 2 π 2 . \frac{\prod_{1\leq i,j\leq n}(i^2\pi^2+j^2\pi^2)}{\prod^{\prime}_{1\leq i,j\leq n}(i^2\pi^2+j^2\pi^2)}=\prod_{1 \le k \le n}^{\prime}(m^2\pi^2+k^2\pi^2)^2 \cdot 2m^2\pi^2.El producto2metro2π2 2 metro 2 π 2 2m^2\pi^2arriba aparece parayo = j = metro i = j = metro i=j=m. Por eso, detGRAMOmetrodetalle G=[( -1 _)metro - 1∏′1 ≤ k ≤ norte(metro2π2−k2π2)]2⋅∏1 ≤ k ≤ norte′(metro2π2+k2π2)2⋅ 2metro2π2,= 2metro2π2∏1 ≤ k ≤ norte′(metro2+k2)2(metro2−k2)2. det GRAMO metro det GRAMO = [ ( − 1 ) metro − 1 ∏ 1 ≤ k ≤ norte ′ ( metro 2 π 2 − k 2 π 2 ) ] 2 ⋅ ∏ 1 ≤ k ≤ norte ′ ( metro 2 π 2 + k 2 π 2 ) 2 ⋅ 2 metro 2 π 2 , = 2 metro 2 π 2 ∏ 1 ≤ k ≤ norte ′ ( metro 2 + k 2 ) 2 ( metro 2 − k 2 ) 2 . \begin{align*} \frac{\det G_m}{\det G} & =\left[ \frac{(-1)^{m-1}}{\prod_{1 \le k \le n}^{\prime}(m^2\pi^2-k^2\pi^2)} \right]^2 \cdot \prod_{1 \le k \le n}^{\prime}(m^2\pi^2+k^2\pi^2)^2 \cdot 2m^2\pi^2,\\ & =2m^2\pi^2\prod_{1 \le k \le n}^{\prime}\frac{(m^2+k^2)^2}{(m^2-k^2)^2}. \end{align*} El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-04-03T01:55:24.393Z

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