Encuentre la matriz triangular y el determinante.

Tengo una matriz de 4x4 y quiero encontrar la matriz triangular (las entradas de la mitad inferior son cero).

A = [ 2 − 8 6 8 3 − 9 5 10 − 3 0 1 − 2 1 − 4 0 6 ]

Aquí están las operaciones de fila elementales que realicé para ponerlo en forma triangular.

intercambio de filas filas 1 y fila 4

r 2 − 3 ⋅ r 1 reemplazando r 2

r 3 + 3 ⋅ r 1 reemplazando r 3

r 4 − 2 ⋅ r 1 reemplazando r 4

me sale esta matriz

A = − [ 1 − 4 0 6 0 3 5 − 8 0 − 12 1 dieciséis 0 0 6 − 4 ]

entonces lo hice 4 ⋅ r 2 + r 3 para reemplazar r 3 y consiguió

A = − [ 1 − 4 0 6 0 3 5 − 8 0 0 21 − dieciséis 0 0 6 − 4 ]

entonces lo hice − 21 ⋅ r 4 + 6 ⋅ r 3 para reemplazar r 4 y consiguió

A = − [ 1 − 4 0 6 0 3 5 − 8 0 0 21 − dieciséis 0 0 0 − 12 ]

No estoy seguro si hice esto correctamente, pero el determinante de la matriz debería ser -36. Cuando multiplico las entradas diagonales no es -36. No puedo entender lo que estoy haciendo mal.

Respuestas (2)

"Luego hice -21*fila 4 + 6*fila 3 para reemplazar la fila 4 y obtuve"

Esta es una operación de alteración determinante y no una operación elemental.

no escribas eso A es igual a algo que no es A .

Retomando donde cometió un error y usando la misma idea que tenía, se obtiene:

[ 1 − 4 0 6 0 3 5 − 8 0 0 21 − dieciséis 0 0 6 − 4 ] ⇝ [ 1 − 4 0 6 0 3 5 − 8 0 0 6 ⋅ 21 − 6 ⋅ dieciséis 0 0 − 21 ⋅ 6 ( − 21 ) ⋅ ( − 4 ) ] ⇝ [ 1 − 4 0 6 0 3 5 − 8 0 0 6 ⋅ 21 − dieciséis 0 0 0 − 12 ] .

Hacer los rendimientos de compensación adecuados

det ( A ) = − 1 ⋅ 3 ⋅ ( 6 ⋅ 21 ) ⋅ ( − 12 ) − 21 ⋅ 6 = − 36.

Una parte del teorema en mi libro dice que si una fila de A se multiplica por k para producir una matriz B, entonces det B es k det A. Creo que eso es lo que usaste pero parece que no puedo entenderlo. ¿Me podrías explicar eso?
Dejar X ser la primera matriz en mi respuesta y Y el segundo. En el primero ⇝ uno obtiene det ( Y ) = 6 ⋅ ( − 21 ) ⋅ det ( X ) , por lo tanto det ( X ) = det ( Y ) − 21 ⋅ 6 .
Ahh, ya veo, multiplicaste las filas 3 y 4 por constantes como un paso separado y luego las sumaste.
@Kot Sí, mi primera ⇝ es en realidad dos operaciones elementales combinadas.

"Luego hice −21⋅r4+6⋅r3 para reemplazar r4 y obtuve"..

Siempre que estemos haciendo operaciones de Fila en una fila en particular, cualquiera que sea el coeficiente que estemos multiplicando en la misma fila debe tomarse como un divisor con signo fuera del determinante. Por ejemplo, tiene una matriz A y su determinante es |A|

Si estamos haciendo la siguiente operación, R3 -> 3 R2 - 5R3 La operación debe procesarse tomando (-1/5) afuera. El concepto es que estamos multiplicando indirectamente la Fila 3 por (-5) a través de esta operación. No tenemos que preocuparnos por el multiplicador 3 con R2, ya que no afectará el valor del determinante (estamos alterando la Fila 3, por lo tanto, los coeficientes restantes de la Fila no afectarán a |A|).

En su caso, hasta el paso final, las operaciones de Fila no tenían coeficientes para las alteraciones de Fila en particular. En el paso final que hiciste,
R4 -> -21 R4 + 6 R3 Entonces, debes tomar (-1/21) afuera. Después de sacar al exterior, el cálculo del determinante será como:

|A| = - (-1/21) (1) (3) (21) (-12) = -36

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