La definición de Determinante en el espíritu del álgebra y la geometría.

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La definición de Determinante en el espíritu del álgebra y la geometría.

hulkster

El concepto de determinante es un tema bastante poco motivador para presentar. Los libros de texto usan introducciones tan "ensartadas" como la definición axiomática, la expansión de Laplace, la fórmula de permutación de Leibniz'a o algo así como el volumen firmado.

Pregunta : ¿es la siguiente una forma posible de introducir el determinante?

Determinante se trata de determinar si un conjunto dado de vectores son linealmente independientes, y una forma directa de verificar esto es agregar multiplicaciones escalares de vectores columna para obtener la forma diagonal:

(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} d_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & d_{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & d_{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & d_{4} \end{matrix}) .

$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\ \end{pmatrix} \thicksim \begin{pmatrix} d_1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & d_2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & d_3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & d_4 \\ \end{pmatrix}.$

Durante el proceso de diagonalización exigimos que la información, es decir, el determinante, permanezca sin cambios. Ahora está claro que los vectores son linealmente independientes si cada $d_i$ es distinto de cero, es decir $\prod_{i=1}^n d_i\neq0$ . También puede darse el caso de que dos columnas sean iguales y no haya forma diagonal, por lo que debemos agregar una condición que anule el determinante (esto es consistente con $\prod_{i=1}^n d_i=0$ ), ya que los vectores columna no pueden ser linealmente independientes.

Si queremos tener una función de valor real que proporcione esta información, simplemente introducimos una función ad hoc $\det:\mathbb{R}^{n \times n} \rightarrow \mathbb{R}$ con las siguientes propiedades:

$det (a_{1}, \dots, a_{i}, \dots, a_{j}, \dots, a_{norte}) = det (a_{1}, \dots, a_{i}, \dots, k \cdot a_{i} + a_{j}, \dots, a_{norte}) .$ $\det (a_1,\ldots,a_i,\ldots,a_j,\ldots,a_n)=\det (a_1,\ldots,a_i,\ldots,k\cdot a_i+a_j,\ldots,a_n).$
$det (d_{1} \cdot {mi}_{1}, \dots, d_{norte} \cdot {mi}_{norte}) = \prod_{i = 1}^{norte} d_{i} .$ $\det(d_1\cdot e_1,\ldots,d_n\cdot e_n)=\prod_{i=1}^n d_i.$
$det (a_{1}, \dots, a_{i}, \dots, a_{j}, \dots, a_{norte}) = 0, si a_{i} = a_{j} .$ $\det (a_1,\ldots,a_i,\ldots,a_j,\ldots,a_n)=0, \space \space \text{if} \space \space a_i=a_j.$

De la definición anterior de determinante podemos inferir la propiedad de multilinealidad :

[a_{1}, \dots, C_{1} \cdot tu + C_{2} \cdot v, \dots, a_{norte}] \sim d i a gramo [d_{1}, \dots, C_{1} \cdot d_{i}^{'} + C_{2} \cdot d_{i}^{″}, \dots, d_{norte}],

$[a_1,\ldots,c_1 \cdot u+c_2 \cdot v,\ldots,a_n]\thicksim diag[d_1,\ldots,c_1 \cdot d'_i+c_2 \cdot d''_i ,\ldots,d_n],$ entonces

det [a_{1}, \dots, C_{1} \cdot tu + C_{2} \cdot v, \dots, a_{norte}] = \prod_{j = 1 : j \neq i}^{norte} d_{j} (C_{1} \cdot d_{i}^{'} + C_{2} \cdot d_{i}^{″})

$\det[a_1,\ldots,c_1 \cdot u+c_2 \cdot v,\ldots,a_n]=\prod_{j=1:j\neq i}^n d_j(c_1 \cdot d'_i+c_2 \cdot d''_i)$

= C_{1} det (d i a gramo [d_{1}, \dots, d_{i}^{'}, \dots, d_{norte}]) + C_{2} det (d i a gramo [d_{1}, \dots, d_{i}^{″}, \dots, d_{norte}])

$=c_1\det(diag[d_1,\ldots, d'_i,\ldots,d_n])+c_2\det(diag[d_1,\ldots, d''_i,\ldots,d_n])$

= C_{1} det [a_{1}, \dots, tu, \dots, a_{norte}] + C_{2} det [a_{1}, \dots, v, \dots, a_{norte}] .

$=c_1\det[a_1,\ldots,u,\ldots,a_n]+c_2\det[a_1,\ldots, v,\ldots,a_n].$

Tenga en cuenta que la multilinealidad anterior junto con la propiedad $(1)$ da la propiedad $(2)$ , por lo que sabemos por la literatura que la función determinante $\det:\mathbb{R}^{n \times n} \rightarrow \mathbb{R}$ realmente existe y es único.

Obviamente, el determinante ofrece información sobre cuán ortogonal es un conjunto de vectores. Por lo tanto, con el proceso de Gram-Schmidt podemos formar un conjunto ortogonal de vectores. $(a_1,\ldots, a_n)$ , y por multilinealidad y propiedad $(2)$ el valor absoluto de determinante es el volumen del paralelepípedo generado por el conjunto de vectores.

Definición . Volumen de paralelepípedo formado por conjunto de vectores $(a_1,\ldots, a_n)$ es $Vol(a_1,\ldots, a_n)=Vol(a_1,\ldots, a_{n-1})\cdot |a_{n}^{\bot}|=|a_{1}^{\bot}|\cdots |a_{n}^{\bot}|$ , dónde $a_{i}^{\bot} \bot span(a_1,\ldots, a_{i-1}).$

Este enfoque del determinante funciona igualmente bien si comenzamos con el volumen de un paralelepípedo (enfoque geométrico) o con la búsqueda de la invertibilidad (enfoque algebraico). Me motivó el libro Álgebra lineal y sus aplicaciones de Lax en el capítulo 5:

En lugar de comenzar con una fórmula para el determinante, la deduciremos de las propiedades que le imponen las propiedades geométricas del volumen con signo. Este enfoque de los determinantes se debe a E. Artin.

$\det (a_1,\ldots,a_n)=0$ , si $a_i=a_j$ , $i\neq j.$
$\det (a_1,\ldots,a_n)$ es una función multilineal de sus argumentos, en el sentido de que si todos $a_i, i \neq j$ está arreglado, $\det$ es una función lineal del argumento restante $a_j.$
$\det(e_1,\ldots,e_n)=1.$

aloizio macedo

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Respuestas (5)

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anomalía · Answer 1

Eso parece bastante opaco: es una forma de calcular una cantidad en lugar de decir qué es exactamente o incluso motivarla. También deja completamente abierta la pregunta de por qué tal función existe y está bien definida. Las propiedades que proporciona son suficientes si está tratando de poner una matriz en forma de triángulo superior, pero ¿qué pasa con otros cálculos? Tampoco justifica una de las propiedades más importantes del determinante, que $\det(ab) = \det a \det b$ .

Creo que la mejor manera de definir el determinante es introducir el producto cuña $\Lambda^* V$ de un espacio de dimensión finita $V$ . Dado que, cualquier mapa $f:V \to V$ induce un mapa $\bar{f}:\Lambda^n V \to \Lambda^n V$ , dónde $n = \dim V$ . Pero $\Lambda^n V$ es un $1$ -espacio dimensional, entonces $\bar{f}$ es simplemente la multiplicación por un escalar (independientemente de la elección de la base); ese escalar es por definición exactamente $\det f$ . Entonces, por ejemplo, obtenemos la condición de que $\det f\not = 0$ si y si $f$ es un isomorfismo gratis: Para una base $v_1, \dots, v_n$ de $V$ , tenemos $\det f\not = 0$ si y si $f(v_1\wedge \cdots \wedge v_n) = f(v_1) \wedge \cdots \wedge f(v_n) \not = 0$ ; es decir, si el $f(v_i)$ son linealmente independientes. Además, desde $h = fg$ tiene $\bar{h} = \bar{f}\bar{g}$ , tenemos $\det(fg) = \det f \det g$ . Las otras propiedades siguen de manera similar. Requiere un poco más de sofisticación de lo que normalmente se supone en una clase de álgebra lineal, pero es la primera construcción de $\det$ He visto que está motivado y explica de manera transparente lo que de otro modo sería una lista de propiedades arbitrarias.

Ruego no estar de acuerdo. Podría decirse que esta es la definición de determinante más refinada , más elegante o incluso más útil , pero creo que también es la definición menos motivada. ¿Por qué diablos hay alguna necesidad de introducir álgebra exterior para definir el volumen de un paralelepípedo o el cambio proporcional en el volumen debido a la aplicación de un mapa lineal? ¿Cómo se pueden ver los méritos de tal definición desde el principio? En cuanto a la motivación, esta definición no tiene ningún sentido.
La motivación es la idea de que $\det f = 0$ es equivalente a la singularidad, que es mucho más interesante e importante que calcular el volumen de un paralelepípedo (y aún tiene sentido sobre un campo $k\not = \mathbb{R}$ ). La forma del volumen en un espacio en la variedad general se define en términos del mismo producto exterior, por lo que se sigue automáticamente. (Esto requiere más análisis de lo que generalmente se supone en una clase introductoria, pero no es como si calcular el volumen de un paralelepípedo en dimensiones arbitrarias fuera realmente una motivación convincente o interesante de todos modos).
... además, en la definición de volumen, todavía está atascado mostrando que el determinante tiene la lista de propiedades en el OP, que no es inmediata. Si asumes que $\det$ está bien definido e invariante bajo conjugación (o comportamiento similar), entonces puedes interpretar $\det g$ para $g$ triangular superior como el volumen de un paralelepípedo y proceder desde allí. Pero no hay una manera obvia de mostrar el significado geométrico de $\det$ para una matriz arbitraria, y no está claro a partir de las tres condiciones dadas por qué $\det$ debe ser multiplicativo, una de sus propiedades más importantes.
Creo que no estamos en la misma página sobre el significado de la palabra "motivación". Parece estar hablando de si vale la pena perseguir un determinado objetivo, pero en el contexto del OP y mi comentario anterior, estamos hablando de si es convincente desde el principio que una determinada definición o una determinada configuración nos llevaría a nuestro deseado meta. En este sentido, el uso del álgebra exterior está bastante desmotivado.
Como lo expresó Paul Halmos (en la página 53, Espacios vectoriales de dimensión finita ): "El lector bien podría acusar a la discusión de que la motivación no fue muy fuerte. La motivación completa no puede estar contenida en este libro; la justificación para estudiar álgebra multilineal es la amplia aplicabilidad del tema. La única aplicación que haremos es a la teoría de los determinantes (que, sin duda, podría tratarse mediante métodos más directos pero menos elegantes, que implican una dependencia mucho mayor de elecciones arbitrarias de bases)".
@Juho: Bueno, seguro: si define el determinante para matrices triangulares o diagonales superiores y lo reduce a ese caso, entonces la multiplicatividad sigue fácilmente (si no es que de forma orgánica). El punto es que estás asumiendo que las tres propiedades que das determinan de manera única y completa el valor del determinante, lo cual no es obvio. También es menos una definición del determinante que un algoritmo para calcularlo; eso no es necesariamente un problema, pero al menos no es una gran motivación.

teón alejandro · Answer 2

La forma en que enseño determinantes a mis alumnos es comenzando con el caso $n=2$ , y usar los números complejos y/o la trigonometría para demostrar que, para $(a,b), (c,d)$ vectores en el plano, la cantidad

a d - b C = | | (a, b) | | \cdot | | (C, d) | | pecado θ

$ad-bc=||(a,b)||\cdotp ||(c,d)|| \sin \theta$ es el área firmada entre

(a, b)

$(a,b)$ y

(c, d)

$(c,d)$ (en este orden).

Luego, usando el producto vectorial y sus propiedades (lo hemos visto antes de entrar al tema de los determinantes en toda su generalidad), comprobamos que $3$ por $3$ los determinantes llevan el significado de los volúmenes firmados.

El siguiente paso es introducir determinantes como funciones multilineales alternativas. Hemos visto ejemplos de mapas bilineales (productos internos), mapas trilineales, como

(tu, v, w) \mapsto (tu \times v) ∙ w

$(u,v,w)\mapsto (u\times v)\bullet w$ y los mapas cuadrilineales

(a, b, C, d) \mapsto (a ∙ C) (b ∙ d) - (b ∙ C) (a ∙ d),

$(a,b,c,d)\mapsto (a\bullet c) (b\bullet d)-(b\bullet c) (a\bullet d),$

(a, b, C, d) \mapsto (a \times b) ∙ (C \times d) .

$(a,b,c,d)\mapsto (a \times b)\bullet (c\times d).$

Ahora, cuando explicamos la multilinealidad, enfatizamos que el hecho de que los dos últimos ejemplos son iguales se puede probar si solo verificamos la igualdad para el caso donde $a,b,c,d$ son vectores de la base canónica.

Entonces llega el momento de definir el determinante de $n$ vectores en $\mathbb{R}^n$ , que es un nuevo ejemplo de $n-$ función alterna lineal. Comprueban que el espacio vectorial de tales mapas es de hecho $\left(^n_n\right).$ Los estudiantes aprenden así que el determinante es esencialmente la única función posible, hasta un múltiplo, de la misma manera que vieron que los mapas multilineales más generales dependen exclusivamente de sus valores en vectores de una base elegida (digamos, la base canónica en nuestro caso).

Aunque aprendí a probar cosas como $\det(AB)=\det(A) \det(B)$ por estricta funcionalidad, en clase sí definimos el mapa

L (X_{1}, \dots, X_{norte}) = det (A X_{1}, \dots, A X_{norte}),

$L(X_1, \ldots , X_n)=\det(AX_1, \ldots , AX_n),$ que por unicidad es múltiplo constante de la función determinante

T (X_{1}, \dots, X_{n}) = det (X_{1}, \dots, X_{n}),

$T(X_1, \ldots , X_n)=\det(X_1, \ldots, X_n),$ y calcule la constante evaluando en la matriz de identidad, es decir

X_{i} = e_{i} .

$X_i=e_i.$

De este modo $\det(AB)=\det(A)\det(B).$

Es en el libro de TW Korner llamado Vectores, puros y aplicados que se puede ver una construcción que utiliza matrices elementales y es rigurosa. El OP puede consultar el libro de Korner para ver una exposición agradable, un poco más realista.

en op. cit. se puede ver cómo Korner utiliza el hecho de que una matriz invertible se puede descomponer como producto de matrices elementales para obtener la fórmula $\det(AB)=\det(A)\det(B).$

Nota: he sido deliberadamente breve en mi exposición, solo para no repetir demasiadas cosas que ya estaban incluidas en otras respuestas.

Henricus V. · Answer 3

$\det$ es el único mapa lineal alterno multilineal tal que $\det I = 1$ . (2) y (3) combinados con la siguiente propiedad definirían $\det$ únicamente

det (a_{1}, \dots, tu, \dots, a_{norte}) + det (a_{1}, \dots, λ v, \dots, a_{norte}) = det (a_{1}, \dots, tu + λ v, \dots, a_{norte})

$\det(a_1,\dots,u,\dots,a_n) + \det(a_1,\dots,\lambda v,\dots,a_n) = \det(a_1,\dots,u + \lambda v,\dots,a_n)$ Lo único que falta en su definición es la linealidad.

Gracias por responder. ¿Crees que es imposible derivar la multilinealidad de las propiedades? $(1)$ , $(2)$ y $(3)$ ?
Pero si las propiedades $(1)$ , $(2)$ y $(3)$ dé el determinante correcto para cada matriz, entonces, ¿la multilinealidad no es una propiedad adicional automática?
@Juho La definición actual de $\det$ satisfacen (1), (2) y (3), pero no hay garantía de que ninguna otra función no lineal también los satisfaga.
@Juho Creo que su definición es equivalente a la de Artin, pero la definición de Artin facilita mucho las pruebas de varias propiedades del determinante.
@ usuario1551 Cierto. En mi definición, encuentro el volumen usando el proceso de Gram-Schmidt. Asumir la multilinealidad como axioma requiere un poco de resonancia geométrica, pero aun así es obvio.

Mijaíl Katz · Answer 4

El significado geométrico del determinante de, digamos, una matriz de 3 por 3 es el volumen (con signo) del paralelepípedo dividido por los tres vectores de columna (alternativamente, los tres vectores de fila). Esto generaliza el área (con signo) del paralelogramo dividida por los dos vectores de columna de una matriz de 2 por 2.

En la siguiente etapa, para buscar la definición geométrica, tendría que aclarar el significado de "firmado" arriba. La definición ingenua de volumen siempre es positiva, mientras que el determinante podría ser negativo, por lo que hay algunas explicaciones que hacer en términos de orientaciones.

La ruta elegida con mayor frecuencia tanto por los instructores como por los escritores de libros de texto es la algebraica, en la que se puede escribir una fórmula mágica y, ¡bum! el determinante ha sido definido. Esto está bien si desea completar una cierta cantidad de material requerido por el curso, pero pedagógicamente, este puede no ser el mejor enfoque.

En última instancia, se requiere una combinación de geometría y álgebra para explicar este concepto correctamente. Se conecta a temas más avanzados como álgebras exteriores, pero esa ya es la siguiente etapa.

financiador de células · Answer 5

Una razón que podría dar a la función determinante es generalizar la propiedad de la potencia, es decir, sabemos que para cualquier escalar $x,a,b,c$ se mantiene: $x^{a + b + c \ldots} = x^a x^b x^c\ldots$

Pero, supongamos que $a,b,c\ldots$ son en realidad las entradas diagonales de una matriz $\mathbf{A}$ entonces se sostiene que $x^{trace(\mathbf{A})} = det(x^\mathbf{A})$ , con $x^A$ la matriz exponencial (de base $x$ );

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Una forma elemental de mostrar que el determinante no es cero

Prueba de que el determinante de una matriz de 3×33×33 \times 3 es el volumen del paralelepípedo atravesado por las columnas

¿Cuál es una forma intuitiva de pensar sobre el determinante?

Es detdet\det de Mi,j=min(xi,xj)2(3max(xi,xj)−min(xi,xj))Mi,j=min(xi,xj)2(3max(xi,xj)− min(xi,xj))M_{i,j} = \min(x_i, x_j)^2 \left( 3 \max(x_i, x_j) - \min(x_i, x_j) \right) distinto de cero?

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