Una forma elemental de mostrar que el determinante no es cero

Question

Una forma elemental de mostrar que el determinante no es cero

matrices
determinante
Matemáticas
álgebra lineal
álgebra abstracta
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cazador_del_infinito

Demostrar que el determinante de la matriz
$(\begin{matrix} a & - C & - b \\ b & a - 2 C & - C - 2 b \\ C & b & a - 2 C \end{matrix})$ $\begin{pmatrix} a && -c && -b \\ b && a - 2c && -c -2b \\ c && b && a -2c \end{pmatrix}$ no es cero para todos los enteros $a,b,c$ dónde $abc \ne 0$

Hay una manera interesante de hacer esto usando dominios integrales. Es fácil ver que el polinomio $t^3 + 2t + 1$ es primo en $\mathbb{Z}[t]$ entonces el anillo $\mathbb{Z}[t]/\langle t^3+2t+1\rangle$ es un dominio integral e isomorfo al anillo $\{a + bu + cu^2 \vert \text{$a,b,c$ are integers}\}$ dónde $u$ es una raíz de la ecuación $t^3 +2t + 1 =0$ .

Ahora considere números enteros $a,b,c$ y $x,y,z$ tal que $abc \ne 0$ y $(a +bu + cu^2)(x + yu + zu^2) = 0$ . Estos son elementos de un dominio integral por lo que debemos tener que $x = y = z = 0$ ya que al menos uno de $a,b$ y $c$ son distintos de cero. Pero expandiendo la ecuación anterior obtenemos un sistema de ecuaciones lineales en términos de $x,y$ y $z$ .

\begin{aligned} a X - C y - b z & = 0 \\ b X + (a - 2 C) y + (- C - 2 b) z & = 0 \\ C X + b y + (a - 2 C) z & = 0 \end{aligned}

$\begin{aligned} ax- cy -bz &= 0 \\ bx+ (a-2c)y + (-c-2b)z &= 0\\ c x+b y+ (a-2c)z &= 0 \end{aligned}$

Si el determinante es $0$ entonces esta ecuación tendrá una solución no trivial que no es posible.

Esta estrategia requiere el uso de dominios integrales que es una herramienta abstracta.

¿Hay formas elementales de resolver esto? Se complica cuando tratamos de hacer operaciones de fila o tratamos de expandir el determinante.

Actualización : después de la respuesta de Carl Schildkraut y JimmyK4542.

Una observación curiosa:

También podemos demostrar que el elemento $t^3 + rt + 1$ es primo en $\mathbb{Z}[t]$ para $r \ne 0, -2$ . Por lo tanto, con argumentos similares podemos decir que el determinante de la matriz

(\begin{matrix} a & - C & - b \\ b & a - r C & - C - r b \\ C & b & a - r C \end{matrix})

$\begin{pmatrix} a && -c && -b \\ b && a - rc && -c -rb \\ c && b && a -rc \end{pmatrix}$ no es cero para todos los enteros

a, b, c, r

$a,b,c,r$ dónde

a b c \neq 0

$abc \ne 0$ y

r \neq 0, - 2

$r \ne 0,-2$ .

usuario1551

el determinante es

a^{3} - b^{3} + c^{3} + 2 a b^{2} - 2 b c^{2} - 4 c a^{2} + 4 c^{2} a + 3 a b c

$a^3-b^3+c^3+2ab^2-2bc^2-4ca^2+4c^2a+3abc$ .

cazador_del_infinito

@ user1551 ¿Podemos usar esta expresión de todos modos? (por ejemplo, factorizar o completar cuadrados)

cazador_del_infinito

También hice otra observación,

t^{3} + m t + 1

$t^3 + mt + 1$ es primo en

Z [t]

$\mathbb{Z}[t]$ para

m \neq 0, - 2

$m \ne 0,-2$ , por lo que trabajar con esto da una matriz más general.

usuario1551

No tengo idea, pero los teóricos de los números pueden ver algo en ello. Una respuesta a continuación considera el módulo de congruencia

3

$3$ , por ejemplo.

Respuestas (2)

Una forma elemental de mostrar que el determinante no es cero

el determinante es $a^3-b^3+c^3+2ab^2-2bc^2-4ca^2+4c^2a+3abc$ .
@ user1551 ¿Podemos usar esta expresión de todos modos? (por ejemplo, factorizar o completar cuadrados)
También hice otra observación, $t^3 + mt + 1$ es primo en $\mathbb{Z}[t]$ para $m \ne 0,-2$ , por lo que trabajar con esto da una matriz más general.
No tengo idea, pero los teóricos de los números pueden ver algo en ello. Una respuesta a continuación considera el módulo de congruencia $3$ , por ejemplo.

JimmyK4542 · Answer 1

Esto podría ser equivalente a lo que hiciste, pero seguiré adelante y escribiré esto como respuesta de todos modos.

Dejar $X = \begin{bmatrix}0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0\end{bmatrix}$ . Entonces, $X^2 = \begin{bmatrix}0 & -1 & 0 \\ 0 & -2 & -1 \\ 1 & 0 & -2\end{bmatrix}$ , y entonces,

Y := [\begin{matrix} a & - C & - b \\ b & a - 2 C & - C - 2 b \\ C & b & a - 2 C \end{matrix}] = a I + b X + C X^{2} .

$Y := \begin{bmatrix}a & -c & -b \\ b & a - 2c & -c -2b \\ c & b & a -2c\end{bmatrix} = aI+bX+cX^2.$

Los valores propios de $X$ son las tres raices $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ de $\lambda^3+2\lambda+1 = 0$ .

Desde $Y = aI+bX+cX^2$ , los valores propios de $Y$ son $a+b\lambda_k+c\lambda_k^2$ para $k = 1,2,3$ .

Ahora, supongamos $\det(Y) = 0$ para algunos enteros $a,b,c$ con $abc \neq 0$ . Entonces, $0$ debe ser un valor propio de $Y$ , y entonces, $a+b\lambda_k+c\lambda_k^2 = 0$ para algunos $k \in \{1,2,3\}$ . Pero usando la fórmula cuadrática, tenemos $\lambda_k = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ca}}{2c}$ .

Entonces ahora solo necesitas probar que ninguna de las tres raíces de $\lambda^3+2\lambda+1 = 0$ se puede expresar en la forma $\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ca}}{2c}$ para enteros distintos de cero $a,b,c$ . Esto solo requiere demostrar que $\lambda^3+2\lambda+1$ es irreductible en $\mathbb{Z}[\lambda]$ , que solo requiere el teorema de la raíz racional y comprobar que $\pm 1$ no son raíces.

Tal vez me estoy perdiendo algo, pero parece más fácil usar el teorema de la raíz racional para demostrar que $p(\lambda)=\lambda^3+2\lambda+1$ es irreductible sobre $\mathbb Q$ , y concluir que $p$ es el polinomio mínimo de $X$ encima $\mathbb Q$ .

Carl Schildkraut · Answer 2

Digamos que tenemos un contraejemplo. Si $3$ divide cada uno de $a,b,c$ , entonces podemos dividir cada uno por $3$ sin consecuencia, y obtener otro contraejemplo. Podemos hacer esto hasta $3$ no logra dividir uno de $a,b,c$ .

Sin embargo, podemos calcular que $3$ no puede dividir el determinante en ningún otro caso. Para hacer esto normalmente tendríamos $26$ casos. Sin embargo, dado que nuestro polinomio es homogéneo en $a,b,c$ , solo necesitamos verificar triples hasta escalar, lo que reduce a la mitad el número de casos. cuando dos de $\{a,b,c\}$ son $0\bmod 3$ esta verificación es fácil, ya que solo persiste un único término distinto de cero en la expansión del determinante. Esto lo reduce a sólo $10$ casos, cada uno de los cuales se puede verificar a mano (incluso puede ser posible reducir aún más sin mucho cálculo).

Observación. Esta estrategia funciona para cualquier primo $p$ para cual $t^3+2t+1$ es irreductible en $\mathbb F_p[t]$ . Esto no es cierto para $p=2$ , entonces $p=3$ produce el menor número de casos.

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Respuestas (2)

JimmyK4542

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Carl Schildkraut

Encuentre la matriz triangular y el determinante.

Determinante de una matriz triangular

Use reducciones de fila para mostrar det(T)=0det(T)=0det(T)=0

La definición de Determinante en el espíritu del álgebra y la geometría.

¿Generalización de números primos a matrices?

Prueba de que el determinante de una matriz de 3×33×33 \times 3 es el volumen del paralelepípedo atravesado por las columnas

¿Cuál es una forma intuitiva de pensar sobre el determinante?

Es detdet\det de Mi,j=min(xi,xj)2(3max(xi,xj)−min(xi,xj))Mi,j=min(xi,xj)2(3max(xi,xj)− min(xi,xj))M_{i,j} = \min(x_i, x_j)^2 \left( 3 \max(x_i, x_j) - \min(x_i, x_j) \right) distinto de cero?

Un determinante de tipo Cauchy det((xi+xj)n−1)det((xi+xj)n−1)\det ((x_i+x_j)^{n-1})