Prueba de que el determinante de una matriz de 3×33×33 \times 3 es el volumen del paralelepípedo atravesado por las columnas

Question

Prueba de que el determinante de una matriz de 3×33×33 \times 3 es el volumen del paralelepípedo atravesado por las columnas

vectores
matrices
determinante
Matemáticas
producto cruzado
álgebra lineal

Juan Hippisley

Recientemente leí acerca de cómo la fórmula del producto cruzado $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = \begin{vmatrix}\textbf{i}&\textbf{j}&\textbf{k}\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3 \end{vmatrix}$ proviene de lo siguiente:

Considere el paralelepípedo atravesado por un vector $\boldsymbol{x}$ y los vectores constantes $\boldsymbol{r}$ y $\boldsymbol{q}$ . Su volumen firmado es entonces $vol(\boldsymbol{x})=\begin{vmatrix}x_1&x_2&x_3\\r_1&r_2&r_3\\q_1&q_2&q_3\end{vmatrix}$ . No pensé mucho en esto, ya que siempre pensé que el determinante es el área/volumen con signo de lo que sea que abarquen los vectores de columna (o fila) en la matriz. Esto se ve fácilmente en las dos dimensiones:

Usando el hecho de que el volumen como una función de $\boldsymbol{x}$ es una transformación lineal, sabemos que existe una matriz $P=\begin{pmatrix}p_1&p_2&p_3\end{pmatrix}$ tal que $P\boldsymbol{x} =vol(\boldsymbol{x})$ . Esto es lo mismo que afirmar que existe un vector $\boldsymbol{p}=\begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix}$ tal que $\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{x}=vol(\boldsymbol{x})$ . Ahora también sabemos que $(\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{q})\cdot\boldsymbol{x}=vol(\boldsymbol{x})$ , entonces si podemos resolver para $\boldsymbol{p}$ entonces también hemos encontrado el producto cruz $\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{q}$ . Abusando de la notación y diciendo $\boldsymbol{x} = \begin{pmatrix}\textbf{i}\\\textbf{j}\\\textbf{k}\end{pmatrix}$ resolvemos esta ecuacion.

Mi pregunta es la siguiente: ¿existe una interpretación geométrica de la fórmula para el determinante 3x3 como la hay para el 2x2? Sé que puedes calcular el triple producto escalar de tres vectores y mostrar que es equivalente a calcular el determinante de la matriz con esos tres vectores como columnas (o filas), pero esto no explica la motivación detrás de la fórmula de la misma manera que el gráfico anterior sirve para el caso 2x2.

Matematleta

El producto vectorial de los vectores que forman la base del paralelepípedo es un vector perpendicular a ambos, cuya norma es igual al área de la base. La proyección escalar del tercer vector sobre el producto cruzado normalizado da la altura del paralelepípedo, y el valor absoluto del producto triple se ve fácilmente como el área de la base por la altura, como se esperaba.

Juan Hippisley

@Matematleta Sí, pero ¿hay una mejor manera de ver que el proceso de cálculo del determinante 3x3 da el volumen además de mostrar que da el mismo resultado que calcular el producto triple escalar?

Respuestas (2)

Prueba de que el determinante de una matriz de 3×33×33 \times 3 es el volumen del paralelepípedo atravesado por las columnas

El producto vectorial de los vectores que forman la base del paralelepípedo es un vector perpendicular a ambos, cuya norma es igual al área de la base. La proyección escalar del tercer vector sobre el producto cruzado normalizado da la altura del paralelepípedo, y el valor absoluto del producto triple se ve fácilmente como el área de la base por la altura, como se esperaba.
@Matematleta Sí, pero ¿hay una mejor manera de ver que el proceso de cálculo del determinante 3x3 da el volumen además de mostrar que da el mismo resultado que calcular el producto triple escalar?

Rezha Adrián Tanuharja · Answer 1

La suma / resta de una columna con otra no cambia el determinante, por lo que el determinante de la matriz $A$ es igual al determinante de la matriz diagonal $B$ , cuyas columnas son combinaciones lineales de matriz $A$ columna de:

B_{\cdot i} = \sum C_{i j} A_{\cdot j} \to | B | = | A |

$B_{\cdot i}=\sum{c_{ij}A_{\cdot j}}\phantom{x}\to\phantom{x}\left|B\right|=\left|A\right|$

Desplazar cualquier "superficie" de un objeto paralelo a cualquiera de sus otros bordes no cambia su $n$ -volumen. Entonces los dos objetos dados por su respectivo conjunto de vértices a continuación tienen el mismo $n$ -volumen:

\sum {pag}_{i} A_{\cdot i}, {pag}_{i} \in {0, 1} \sum q_{i} B_{\cdot i}, q_{i} \in {0, 1}

$\sum{p_{i}A_{\cdot i}}\phantom{x},\phantom{x}p_{i}\in\{0,1\}\\ \sum{q_{i}B_{\cdot i}}\phantom{x},\phantom{x}q_{i}\in\{0,1\}$

Desde $B$ es una matriz diagonal, es bastante obvio que su determinante da la $n$ -volumen del segundo objeto anterior. Por lo tanto, determinante de $A$ igual determinante de $B$ que es igual a $n$ -volumen del segundo objeto que es igual al $n$ volumen del primer objeto.

no entiendo la expresion $B_{\cdot i}=\sum{c_{ij}A_{\cdot j}}$ ¿Puedes dar más detalles?
@JohnHippisley básicamente usas la eliminación gaussiana en la matriz $A$ para obtener la matriz diagonal $B$
Ah, ¿y al hacer esto se preserva el volumen ya que al agregar múltiplos de las columnas solo estamos realizando una cizalla?
@JohnHippisley sí, eso es correcto :) y una vez que la matriz se vuelve diagonal, el determinante es simplemente un producto de $n$ vectores perpendiculares que nos dan volumen
Estoy tratando de descifrar las operaciones de fila para poner la matriz en forma diagonal, pero no puedo obtenerlo. ¿Podrías ayudarme?

Masón · Answer 2

En general, tenemos que si $A \in GL(n, \mathbb{R}^n)$ y $S \subset \mathbb{R}^n$ es Borel (o Lebesgue) medible, entonces $vol(A(S)) = |\det(A)|vol(S)$ . Una prueba heurística no es difícil (para una prueba rigurosa, por el teorema de Caratheodory, basta con considerar el caso cuando $S$ es un producto de intervalos, entonces el resto de esta prueba heurística funcionará). Desde $\det(E_1E_2) = \det(E_1)\det(E_2)$ , es suficiente probar el teorema cuando $A$ es una operación de fila. Si $A$ es de la forma $Ae_j = c_j$ , $c_j \neq 0$ , entonces es geométricamente obvio que $vol(A(S)) = |c_1|\dots|c_n|vol(S)$ . Si $A$ es de la forma $Ae_j = e_{\sigma(j)}$ , $\sigma \in S_n$ , entonces es geométricamente obvio que $vol(A(S)) = vol(S)$ . Si $A$ es de la forma $Ae_1 = e_1 + ce_2$ , $Ae_j = e_j$ para $j \geq 2$ , entonces por el teorema de Fubini, $vol(A(S)) = vol(S)$ .

Prueba de que el determinante de una matriz de 3×33×33 \times 3 es el volumen del paralelepípedo atravesado por las columnas

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Rezha Adrián Tanuharja

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Masón

Producto triple escalar: ¿por qué equivalente a determinante?

Independencia lineal de vectores y menor de matrices

Único u∧vu∧vu\cuña v tal que (u∧v)⋅w=∣∣∣∣∣u1v1w1u2v2w2u3v3w3∣∣∣∣∣(u∧v)⋅w=|u1u2u3v1v2v3w1w2w3|(u\cuña v)\cdot w = \small\begin{vmatrix} u_1&u_2&u_3 \\ v_1&v_2&v_3 \\ w_1&w_2&w_3 \end{vmatrix} para todos los w∈R3w∈ℝ3w\inℝ^3

Encuentre la matriz triangular y el determinante.

Determinante de una matriz triangular

Use reducciones de fila para mostrar det(T)=0det(T)=0det(T)=0

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