Determinante de la matriz de bloques con bloques singulares en la diagonal

Sin pérdida de generalidad, sea$A$ser$m$-por-$m$y$D$ser$n$-por-$n$, con$m\ge n$. Considerar

$$f(t)=\det\left( \begin{array}{cc} A+tI_m&B\\ C&D \end{array} \right).$$ Obviamente,

• $f(t)$es un polinomio de$t$, para lo cual es analítico sobre$\mathbb{R}$;
• $f(0)$devuelve el determinante deseado;
• $g(t)=\det\left(A+tI_m\right)$es también un polinomio de$t$, para lo cual tiene ceros aislados;
• $g(0)=0$siempre que$A$es singular, pero desde$t=0$es un cero aislado de$g(t)$,$g(t)\ne 0$para todos$t\in\left(-\delta,\delta\right)\setminus\left\{0\right\}$para algunos$\delta>0$.

Ahora, desde$g(t)\ne 0$en algunas$\left(-\delta,\delta\right)\setminus\left\{0\right\}$, resulta que$A+tI_m$es invertible en este dominio. Por lo tanto,

$$f(t)=\det\left(A+tI_m\right)\det\left(D-C\left(A+tI_m\right)^{-1}B\right).$$ En consecuencia, la continuidad de$f(t)$rendimientos $$f(0)=\lim_{t\to 0}\left(\det\left(A+tI_m\right)\det\left(D-C\left(A+tI_m\right)^{-1}B\right)\right).$$

Ahora, centrémonos en dos casos distintos. Primero, si$A=O_m$, es decir,$A$es una matriz cero de orden$m$. En este caso, la fórmula anterior da

$$\begin{align} f(0)&=\lim_{t\to 0}\left(\det\left(tI_m\right)\det\left(D-C\left(tI_m\right)^{-1}B\right)\right)\\ &=\lim_{t\to 0}\left(t^m\det\left(D-\frac{1}{t}CB\right)\right)\\ &=\lim_{t\to 0}\left(t^m\det\left(\frac{1}{t}\left(tD-CB\right)\right)\right)\\ &=\lim_{t\to 0}\left(t^{m-n}\det\left(tD-CB\right)\right). \end{align}$$ Recordar que$m\ge n$. Obtenemos por tanto

• Si$m>n$, eso es obvio$f(0)=0$;
• Si$m=n$, resulta que$f(0)=\det\left(-CB\right)=\left(-1\right)^n\det\left(CB\right)$.

En segundo lugar, considere$A\ne O_m$. Este caso es más complicado y no existe una forma elegante para$f(0)$con solo$A$,$B$,$C$, y$D$involucrado. Sin embargo, desde$A\ne O_m$, podemos realizar algunas operaciones elementales del segundo tipo, es decir, transformaciones de cambio de fila y columna, de modo que después de las operaciones, obtengamos

$$f(0)=\det\left( \begin{array}{cc} A'&B'\\ C'&D' \end{array} \right),$$ donde, por ejemplo,$A'$resultados de$A$cambiando$A$filas y columnas de tal que$A''$, el$k$-por-$k$matriz cuadrada formada por la primera$k$filas y columnas de$A'$, es invertible. La existencia de tal$A''$está garantizado por el hecho de que$A\ne O_m$. De este modo, $$f(0)=\det\left( \begin{array}{cc} A''&B''\\ C''&D'' \end{array} \right).$$ Gracias a la invertibilidad de$A''$, $$f(0)=\det\left(A''\right)\det\left(D''-C''\left(A''\right)^{-1}B''\right).$$ Este resultado es mucho menos elegante.$A''$es solo una parte de$A$.$B''$contiene parte de ambos$A$y$B$, y también lo hace$C''$.$D''$contiene todo$D$, y parte de$A$,$B$, y$C$. Además, también hay interruptores de filas y columnas.

Para$M=\begin{bmatrix}A & B\\C & D\end{bmatrix}$dejar$N=M^TM$. De modo que

$$N:=\begin{bmatrix}E & F\\F^T & G\end{bmatrix}$$ dónde $$\begin{align} E&=A^T A+C^T C\\F&=A^T B+C^T D\\G&=B^T B+D^T D \end{align}$$ Ahora si$M$es no singular entonces$N$es una matriz definida positiva. Por lo tanto, según esta otra publicación, $E$es una matriz de bloque positiva definida (es decir, no singular).

Desde$E$es no singular, podemos usar el complemento de Schur para obtener$\det N$.

$$\det{N} = \det{E}\cdot\det(G-F^T E^{-1}F)=(\det M)^2$$ La única parte restante en este caso es determinar el signo de$\det M$, que aparentemente, no hay una manera fácil de hacer eso en general.

Podríamos ser capaces de obtener la señal de$\det M$por un truco similar al discutido al final de la respuesta de @hypernova. Actualizaré esta respuesta si surge algo.

Pista:

$$M = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}. = \begin{bmatrix} 0 & I \\ I & 0 \end{bmatrix}. \begin{bmatrix} C & D \\ A & B \end{bmatrix}$$

Dónde$I$es la matriz identidad de tamaño apropiado.