El conjunto de Cantor es homeomorfo al producto infinito de {0,1}{0,1}\{0,1\} consigo mismo -base cilíndrica- y su topología

Question

El conjunto de Cantor es homeomorfo al producto infinito de {0,1}{0,1}\{0,1\} consigo mismo -base cilíndrica- y su topología

conjunto de cantor
Matemáticas
producto-espacio
análisis real
topología general
teoría elemental de conjuntos

nate

Sé que el conjunto de Cantor probablemente aparece en las preguntas de la tarea todo el tiempo, pero no encontré muchas pistas, al menos que entendí.

Se supone que, para un problema de tarea, debo mostrar que el conjunto de Cantor es homeomorfo al producto infinito (¿estoy suponiendo infinito numerable?) de $\{0,1\}$ consigo mismo

Entonces, los miembros de este espacio de dos puntos (?) son cosas como $(0,0,0,1)$ y $(0,1,1,1,1,1,1)$ , etc.

En primer lugar, creo que un homeomorfismo (el 'isomorrismo topológico') es un mapeo entre dos topologías (para los conjuntos de Cantor, ¿qué topología es esta? ¿Discreta?) que tienen funciones biyectivas continuas.

¡Así que estoy bastante perdido y ni siquiera sé qué más decir! :( He visto algo así leyendo algunos textos, algo sobre

F : \sum_{i = 1}^{+ \infty} \frac{a_{i}}{3^{i}} \mapsto \sum_{i = 1}^{+ \infty} \frac{a_{i}}{2^{i + 1}},

$f: \sum_{i=1}^{+\infty}\,\frac{a_i}{3^i} \mapsto \sum_{i=1}^{+\infty}\,\frac{a_i}{2^{i+1}} ,$ para

a_{i} = 0, 2

$a_i = 0,2$ . Pero de alguna manera esto parece ser un 'complemento' de lo que necesito... Aparentemente debo usar números ternarios representados usando solo

0

$0$ 'arena

1

$1$ 'pecado; Por ejemplo,

0. a_{1} a_{2} \dots = 0.01011101

$0.a_1\,a_2\,\ldots = 0.01011101$ ?

¡Muchas gracias por cualquier ayuda para comenzar!

Aquí está la pregunta de tarea textual:

La medida estándar en el conjunto de Cantor viene dada por el Cantor $\phi$ función que es constante en tercios faltantes y diádica en racionales ternarios.

Muestre que el conjunto de Cantor es homeomorfo al producto infinito de $\{0,1\}$ consigo mismo

¿Cómo debemos topologizar este producto?

(Pista: este producto es el mismo que el conjunto de todas las secuencias binarias infinitas)

arreglar un binario $n$ -tupla $(a_1,\ldots, a_n)$ (por ejemplo, $(0,1,1,0,0,0)$ si $n = 6$ ).

Demostrar que la medida de puntos de Cantor ( $b_k$ ) con $b_k=a_k$ para $k \leq n$ y $b_k \in \{0,1\}$ arbitrario para $k>n$ , es exactamente $1/2^n$ . Estos se llaman cilindros. (¡Son los decorados abiertos, pero también cerrados!)

Sebastián P. Pincheira

Para un poco de bibliografía: Topología por James Dugundji, capítulo IV sección 4 tiene una prueba detallada junto con una aplicación a Peano Curves.

Respuestas (3)

El conjunto de Cantor es homeomorfo al producto infinito de {0,1}{0,1}\{0,1\} consigo mismo -base cilíndrica- y su topología

Para un poco de bibliografía: Topología por James Dugundji, capítulo IV sección 4 tiene una prueba detallada junto con una aplicación a Peano Curves.

Brian M Scott · Answer 1

Voy a suponer que el conjunto de Cantor aquí se refiere al conjunto estándar de Cantor de tercios medios $C$ descrito aquí . Se puede describir como el conjunto de números reales en $[0,1]$ tener expansiones ternarias usando solo los dígitos $0$ y $2$ , es decir, números reales de la forma

\sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{a_{norte}}{3^{norte}},

$\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{3^n},$ donde cada uno

a_{n}

$a_n$ es cualquiera

0

$0$ o

2

$2$ .

Por cada entero positivo $n$ dejar $D_n = \{0,1\}$ con la topología discreta, y sea

X = \prod_{norte = 1}^{\infty} D_{norte}

$X = \prod_{n=1}^\infty D_n$ con la topología del producto. Elementos de

X

$X$ son secuencias infinitas de

0

$0$ 'arena

1

$1$ 's, entonces

(0, 0, 0, 1)

$(0,0,0,1)$ y

(0, 1, 1, 1, 1, 1, 1)

$(0,1,1,1,1,1,1)$ no son elementos de

X

$X$ ; si los rellenas con una cadena infinita de

0

$0$ es para conseguir

(0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, \dots)

$(0,0,0,1,0,0,0,0,\dots)$ y

(0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, \dots)

$(0,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,\dots)$ , sin embargo, obtienes puntos de

X

$X$ . Un punto más interesante de

X

$X$ es la secuencia

(p_{n})_{n}

$(p_n)_n$ , dónde

p_{n} = 1

$p_n = 1$ si

n

$n$ es primo, y

p_{n} = 0

$p_n = 0$ si

n

$n$ no es primo.

Tu problema es demostrar que $C$ , con la topología que hereda de $\mathbb{R}$ , es homeomorfo a $X$ . Para hacer eso, debes encontrar una biyección $h:C\to D$ tal que ambos $h$ y $h^{-1}$ son continuos. La sugerencia que encontraste es dejar

h (\sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{a_{norte}}{3^{norte}}) = (\frac{a_{1}}{2}, \frac{a_{2}}{2}, \frac{a_{3}}{2}, \dots) .

$h\left(\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{3^n}\right) = \left(\frac{a_1}2,\frac{a_2}2,\frac{a_3}2,\dots\right).$ Tenga en cuenta que

\frac{a_{norte}}{2} = {\begin{cases} 0, & si a_{norte} = 0 \\ 1, & si a_{norte} = 2, \end{cases}

$\frac{a_n}2 = \begin{cases}0,&\text{if }a_n=0\\1,&\text{if }a_n=2,\end{cases}$ así que esto realmente define un punto en

X

$X$ . Esto realmente es una biyección: si

b = (b_{n})_{n} \in X

$b = (b_n)_n \in X$ ,

h^{- 1} (b) = \sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{2 b_{norte}}{3^{norte}} .

$h^{-1}(b) = \sum_{n=1}^\infty\frac{2b_n}{3^n}.$

@nate: La respuesta a su primera pregunta es sí , siempre que mire solo las series en las que todos los $a_n$ '2 son $0$ o $2$ . cuando quitas $(1/3,2/3)$ , te deshaces de todos los números cuyas únicas expansiones ternarias comienzan $0.1$ . cuando quitas $(1/9,2/9)\cup(7/9,8/9)$ te deshaces de aquellos cuyas únicas expansiones ternarias comienzan $0.01$ o $0.21$ . Etcétera. Para su segunda pregunta: no, $D_3 = \{0,1\}$ . Es solo uno de los espacios factoriales en el producto infinito. Una secuencia de $0$ 'arena $1$ 's es miembro de ese producto.
Supongo que lo estoy consiguiendo, aunque lentamente. Mi principal confusión (para otra publicación cuando lo tengo bien redactado) es de la página "conjunto de cantor" en wikipedia donde el autor dice que tome la representación binaria de $3/5_{10} \mapsto 0.10011001..._{2}$ y reemplaza todos los 1 por 2. En base 3 (con 0,1,2), 3/5 es 0.12101210... Supongo que esto tendrá que ser otra publicación o investigarlo un poco más: este intercambio es 1 por 2. ¿O es un truco para deshacerse de los tercios medios?
@nate: Es solo un truco para deshacerse de los tercios medios. Cuando reemplazas el $1$ 's en una expansión binaria por $2$ 's e interpreta el resultado en ternario, le dará un número diferente. De hecho, las dos expansiones binarias de un racional diádico te darán números diferentes: $1/2_\text{ten}=0.10000\dots_\text{two}$ te dio $0.20000\dots_\text{three}=2/3_\text{ten}$ , mientras $1/2_\text{ten}=0.01111\dots_\text{two}$ te dio $0.02222\dots_\text{three}=1/3_\text{ten}$ : te has separado $1/2_\text{ten}$ en dos.
¡Fascinante! Bueno, recuerdo haber visto en alguna parte (tendré que leerlo) la posibilidad de relaciones no inyectivas entre sistemas numéricos. Bueno, entiendo completamente mi problema de tarea y veo cómo/por qué pide números de base 3 usando 0 y 1, y no 2. ¡Muchas gracias!
¿Cómo podemos probar que $h$ es continuo? quiero decir, ¿qué es $f^{-1} (B)$ con $B$ un conjunto abierto básico de $\{0,1\} ^{\mathbb{N} }$ ? no lo veo
@Quien sabe: Vamos $\sigma=\langle b_0,\ldots,b_n\rangle$ sea una secuencia finita de ceros y unos, y sea $B (σ) = {X \in X : X_{k} = b_{k} para k = 0, \dots, norte};$ $B(\sigma)=\{x\in X:x_k=b_k\text{ for }k=0,\ldots,n\}\;;$ los conjuntos $B(\sigma)$ son una base para $X$ . $h^{-1}[B(\sigma)]$ es el conjunto de todos los puntos de $C$ cuyas expansiones ternarias comienzan $0.(2b_0)(2b_1)\ldots(2b_n)$ , y no es difícil comprobar que se trata de un conjunto cerrado en $C$ . De hecho, es el conjunto de puntos en $C$ que están en uno de los intervalos cerrados en la etapa $n+1$ de la construcción habitual .
¿Soy solo yo quien se pregunta qué tiene de interesante $\sum3^{-p_n}$ ?

LostInMath · Answer 2

Tenga en cuenta que el $1/3$ - Cantor intervino $[0,1]$ se puede representar como el conjunto de números reales de la forma $\sum_{n=1}^\infty a_n/3^n$ dónde $a_n\in\{0,2\}$ para cada $n\in\mathbb{N}$ . Un homeomorfismo que estás buscando es la función $f$ que mapea el punto $\sum_{n=1}^\infty a_n/3^n$ en el conjunto de Cantor a la secuencia $(a_n/2)_{n=1}^\infty$ en el producto $\{0,1\}^\mathbb{N}$ . El producto $\{0,1\}^\mathbb{N}$ consiste en secuencias numerables infinitas de $0$ 'arena $1$ 's. Tenga en cuenta que ninguna tupla finita como $(0,0,0,1)$ es en $\{0,1\}^\mathbb{N}$ . El producto está topologizado de modo que cada factor $\{0,1\}$ se le da la topología discreta y luego al producto se le da la topología del producto .

quieres demostrar que $f$ es una biyección continua y abierta. La biyectividad es muy fácil de mostrar. Para la continuidad, es posible que desee utilizar el hecho de que la topología del producto de $\{0,1\}^\mathbb{N}$ es generado por los conjuntos de la forma $U(N,a)=\{(a_n)_{n=1}^\infty\in\{0,1\}^\mathbb{N}:a_N=a\}$ dónde $N\in\mathbb{N}$ y $a\in\{0,1\}$ , y por lo tanto es suficiente mostrar que las preimgenes de estos conjuntos $U(N,a)$ están abiertas en el conjunto de Cantor. Finalmente para demostrar que $f$ es abierto, puede usar el siguiente hecho general: una biyección continua de un espacio compacto a un espacio de Hausdorff es abierta.

Gracias también por el esfuerzo. Necesito leer más sobre cómo mostrar $f$ Esta abierto. Sin embargo, estoy un poco atascado en probar la biyectividad. Obtuve la inyectividad al decir que dos elementos de preimagen diferentes dan como resultado elementos diferentes en el conjunto de imágenes. Pero, ¿qué hay de la sobreyectividad? Eso sigue siendo difícil... ¿Algún consejo?
@nate: si sabes que el conjunto de Cantor es el mismo que $\{\sum_{n=1}^\infty a_n/3^n:\forall n\in\mathbb{N}(a_n\in\{0,2\})\}$ , entonces la sobreyectividad es fácil de ver: seleccione $y=(a_n)_{n=1}^\infty\in\{0,1\}^\mathbb{N}$ , entonces $x=\sum_{n=1}^\infty 2a_n/3^n$ está en el conjunto de Cantor y $f(x)=y$ .
@nate: La prueba de la última afirmación es una pequeña y agradable interacción entre la compacidad y la cerrazón. Primero tenga en cuenta que una biyección es abierta si es cerrada (se sigue fácilmente de 'un subconjunto es abierto si el complemento es cerrado'). Dejar $f:X\to Y$ Sea una biyección continua entre un espacio compacto y uno de Hausdorff. Elija un subconjunto cerrado $F$ de $X$ . Dado que un subconjunto cerrado de un espacio compacto es compacto y $f$ es continuo, $f(F)$ es compacto Dado que un subconjunto compacto de un espacio de Hausdorff es cerrado, $f(F)$ está cerrado en $Y$ . Por eso $f$ es una función cerrada (equivalentemente abierta).

yuval filmus · Answer 3

El conjunto de Cantor consiste en números cuya expansión ternaria usa solo $0$ arena $2$ s. Así que hay una biyección "natural" entre el conjunto de cantor y $\{0,1\}^\omega$ , o mejor $\{0,2\}^\omega$ . Todo lo demás debería simplemente "funcionar".

Tenga en cuenta que $\{0,1\}^\omega$ consta de todas las secuencias infinitas de $0$ y $1$ .

El conjunto de Cantor es homeomorfo al producto infinito de {0,1}{0,1}\{0,1\} consigo mismo -base cilíndrica- y su topología

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Sebastián P. Pincheira

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