¿El conjunto convexo sigue siendo convexo cuando está dotado de una métrica de Riemann diferente?

La convexidad no se conserva bajo un cambio de métrica de Riemann. Para ver esto considere el siguiente ejemplo. Dejar$V \subset \mathbb{R}^2$Sea el disco unitario, claramente cerrado y convexo. Ahora reemplace la métrica plana en$V$por un cerro muy empinado (de forma suave). En otras palabras, las distancias dentro$V$se vuelven mucho más grandes en la nueva métrica. Esto se incrusta en$\mathbb{R}^3$pero no necesitamos eso.

En la métrica antigua, el minimizador de distancia entre dos puntos convenientemente elegidos fuera$V$será una línea recta que pasa por$V$. En la nueva métrica, esta línea no será un minimizador de distancia, el minimizador pasará alrededor$V$.

La otra respuesta es genial. Aquí hay otra que quizás parezca una solución exagerada.

A partir del teorema de uniformización de Riemann, todos los subconjuntos abiertos simplemente conectados de$\mathbb{C}$son biholomórficos. Considerar$\Delta = \left\{ z \in \mathbb{C} \mid |z|<1\right\}$el disco unitario y$U = \left\{z=x+iy \mid y < x^2\right\}$. Estos dos subconjuntos están abiertos y simplemente conectados y, por lo tanto, existe un biholomorfismo.$\varphi : \Delta \to U$.

Considere la métrica euclidiana$g$en$\mathbb{C}$. Entonces$\Delta$es convexa con respecto a$g$y$U$no lo es Resulta que$\left(\Delta,g\right)$es convexo, pero$\left(\Delta,\varphi^* g\right)$no lo es