Ejercicio sobre ecuaciones de Lagrange-Euler

Question

Ejercicio sobre ecuaciones de Lagrange-Euler

Física
geodésicas
sistemas coordinados
formalismo lagrangiano
principio variacional
deberes-y-ejercicios

pascal engeler

Estoy resolviendo un ejercicio sobre las ecuaciones de Lagrange-Euler, que dice lo siguiente:

Dejar $\gamma (t) = \{ (t,q) : q = q(t), t_0 \leq t \leq t_1\}$ ser una curva en $\mathbb{R} \times \mathbb{R}^2$ . más dejar $F(q,\dot{q},t)$ ser la función de $\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ por lo que el funcional $\Phi = \int_{t_0}^{t_1} F(q,\dot{q},t) dt$ es la longitud de la curva.

(a) ¿Cuál es la forma de $\Phi$ en coordenadas cartesianas? ¿Cuál es su forma en coordenadas polares?

(b) Dé las ecuaciones de Euler-Lagrange en ambos sistemas de coordenadas.

(c) Resuelva las ecuaciones diferenciales en ambos sistemas de coordenadas y demuestre que las soluciones son las mismas.

Ahora, mi problema comienza con dar la forma de $\Phi$ . Encontré que el elemento de longitud en coordenadas cartesianas es $ds = \sqrt{dx^2 + dy^2}$ , así que con

\int d s = \int \frac{d s}{d t} d t = \int \sqrt{{(\frac{d X}{d t})}^{2} + {(\frac{d X}{d t})}^{2}} d t,

$\int ds = \int \frac{ds}{dt} dt = \int \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dx}{dt}\right)^2} dt,$ Encontramos eso

Φ = \int_{t_{0}}^{t_{1}} | | \dot{γ} (t) | | d t

$\Phi = \int_{t_0}^{t_1} ||\dot{\gamma}(t)|| dt$ . Ahora, mi plan es encontrar el elemento de longitud en coordenadas polares e insertar las expresiones respectivas en términos de

γ

$\gamma$ . El problema es que no veo cómo encontrar el elemento de longitud en coordenadas polares. Lo busqué en Wikipedia y encontré

d s^{2} = d r^{2} + r^{2} d θ^{2}

$ds^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2$ . Ahora para

d r^{2}

$dr^2$ yo me enchufaría

| | \dot{γ} (t) | |^{2}

$||\dot{\gamma} (t)||^2$ , para

r^{2}

$r^2$ yo pondría

| | γ (t) | |^{2}

$||\gamma (t)||^2$ , y para

d θ

$d\theta$ No tengo ni idea.

¿Me pueden ayudar, especialmente con la derivación del elemento de línea polar y la forma de $\Phi$ en coordenadas polares?

Respuestas (2)

Ejercicio sobre ecuaciones de Lagrange-Euler

usuario91126 · Answer 1

Colocar $x = r \cos \theta$ , $y = r \sin \theta$ . Tomando los diferenciales totales,

d X = d r porque θ - r pecado θ d θ,

$\mbox{d}x = \mbox{d}r \cos \theta - r \sin \theta \mbox{d} \theta,$

d y = d r pecado θ + r porque θ d θ .

$\mbox{d}y = \mbox{d}r \sin \theta + r \cos \theta \mbox{d} \theta.$

Cuadrar y simplificar

d s^{2} = {d X}^{2} + {d y}^{2} = {d r}^{2} + r^{2} {d θ}^{2} .

$\mbox{d}s^2 = {\mbox{d}x}^2 + {\mbox{d}y}^2 = {\mbox{d}r}^2 + r^2 {\mbox{d}\theta}^2.$

Por eso

\frac{d s}{d t} d t = \sqrt{{(\frac{d r}{d t})}^{2} + r^{2} {(\frac{d θ}{d t})}^{2}} d t .

$\frac{\mbox{d}s}{\mbox{d} t} \mbox{d} t = \sqrt{ \left( \frac{\mbox{d}r}{\mbox{d}t}\right)^2 + r^2 \left( \frac{\mbox{d}\theta}{\mbox{d}t}\right)^2 }\, \mbox{d}t.$

Ahora, la propiedad de ser extremal es una característica de la curva, no del sistema de coordenadas, por lo que es independiente del gráfico local que elija. En particular, la ecuación de Euler-Lagrange conserva la misma forma en ambos sistemas (obviamente, uno cambia las etiquetas: $(x,y) \to (r,\theta)$ ). Este comentario responde al punto $(a)$ y $(b)$ . Punto $(c)$ es una simple verificación que puedes hacer eventualmente después de haber invertido las relaciones anteriores entre $(x,y)$ y $(r,\theta)$ .

Para una discusión brillante de este y otros puntos más sutiles, veamos Arnold, Mathematical Methods of Classic Mechanics , Párrafo 12.C, 12.D.

joshfísica · Answer 2

Para la expresión en coordenadas polares. simplemente "divide" el elemento de línea en coordenadas polares por $dt^2$ para obtener

\begin{aligned} {(\frac{d s}{d t})}^{2} = {(\frac{d r}{d t})}^{2} + r^{2} {(\frac{d θ}{d t})}^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \left(\frac{ds}{dt}\right)^2 = \left(\frac{dr}{dt}\right)^2 + r^2\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2 \end{align}$ entonces en coordenadas polares, uno tiene

\begin{aligned} ‖ \dot{γ} (t) ‖ = \sqrt{{\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{θ}}^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} \|\dot\gamma(t)\| = \sqrt{\dot r^2 + r^2\dot\theta^2} \end{align}$ y te dejo el resto a ti.

Nota. La forma más rigurosa de hacer esto es notar que en cualquier coordenada dada, la métrica euclidiana se puede escribir como $3\times 3$ matriz con elementos $g_{ij}$ . Entonces, la velocidad viene dada por la siguiente expresión en términos de los componentes métricos en estas coordenadas:

\begin{aligned} ‖ \dot{γ} (t) ‖ = \sqrt{{gramo}_{i j} (γ (t)) {\dot{X}}^{i} (t) {\dot{X}}^{j} (t)} \end{aligned}

$\begin{align} \|\dot \gamma(t)\| = \sqrt{g_{ij}(\gamma(t))\dot x^i(t)\dot x^j(t)} \end{align}$ donde hemos escrito la curva en componentes en las coordenadas dadas como

γ (t) = (x^{i} (t))

$\gamma(t) = (x^i(t))$ . Las manipulaciones con el elemento de línea realizadas anteriormente son equivalentes a esto. Te dejo a ti demostrar que la expresión dada en términos de los componentes métricos da el mismo resultado para la velocidad.

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pascal engeler

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usuario91126

joshfísica

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