Coordenadas curvilíneas y vectores base

Considere un sistema hecho de$N$puntos de materia, con posiciones$\vec{r}_i$,$i=1,\ldots,N$referido al espacio de reposo de un marco de referencia$\cal I$. En ausencia de otras restricciones, el sistema se describe en$\mathbb R^{3N+1}$, dónde$\mathbb R^{3N}$se refiere a las coordenadas cartesianas espaciales de los puntos en$\cal I$, mientras que el último$\mathbb R$indica el eje del tiempo$t$.

A continuación, suponga que se supone que los puntos satisfacen algunas restricciones descritas por$c < 3N$condiciones,

$$f_j(t,\vec{r}_1,\ldots, \vec{r}_N) =0\quad j=1,\ldots, c\:.\tag{1}$$ Por ejemplo, las condiciones anteriores pueden establecer que algunas distancias entre $\vec{r}_i$y $\vec{r}_j$es una función dada del tiempo, o que algunos de los puntos pertenecen a líneas o superficies fijas en $\cal I$, o deformarse en el tiempo con una ley dada (una circunferencia con radio $R(t)$dependiendo del tiempo), y así sucesivamente. Suponga que las funciones $f_j$son suaves ( $C^2$sería suficiente) y centrarse en la matriz jacobiana de elementos $$\frac{\partial f_j}{\partial x_{ik}}$$ dónde $\vec{r}_i = x_{i1}\vec{e}_1+ x_{i2}\vec{e}_2+ x_{i3}\vec{e}_3$. Si esa matriz tiene $c$fila (o columna) linealmente independiente en el conjunto $S \subset \mathbb R^{3N+1}$definida por (1), las restricciones se dicen holonómicas .

En este caso como consecuencia directa del llamado teorema de los valores regulares es posible probar que, todo$a\in S$admite un barrio$U_a$, tal que$S \cap U_a$se describe biunívoca y suavemente mediante coordenadas locales$t, q_1,\ldots, q_n$con$n= 3N-c$y donde$t$es la coordenada de tiempo utilizada inicialmente.

En otras palabras más matemáticas$S$es una subvariedad incrustada de$\mathbb R^{3N+1}$y$t, q_1,\ldots, q_n$son un sistema de coordenadas local.

Por cada fijo$t_0$, los elementos$a$de$S$con$t(a)=t_0$definir el espacio de configuración del sistema en$t=t_0$. Esa es una subvariedad embebida de$S$(y por tanto de$\mathbb R^{3N+1}$) con dimensión$n$.

COMENTARIO . Es posible probar (usando nuevamente el teorema mencionado) que el$n$coordenadas$q_k$siempre se puede elegir para que coincida con$n$de los componentes$x_{ij}$. Las coordenadas restantes son funciones de$t$y el$q_k$a través de funciones de la misma regularidad ($C^2$en nuestro caso) como el de las funciones$f_j$.

Desde$t,q_1,\ldots, q_n$son coordenadas libres para describir el sistema, podemos escribir$N$vector valorado$C^2$funciones:

$${\vec r}_i= {\vec r}_i(t,q_1,\ldots,q_n)\quad i=1,\ldots, N \tag{2}$$ No es tan difícil probar que, en vista de la observación anterior, los vectores $$\frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_k}$$ debe ser linealmente independiente. Forman una base del espacio tangente en cada punto de la subvariedad $S_t$.

Las coordenadas$q_1,\ldots, q_n$son los que se utilizan para describir el movimiento del sistema. Cada movimiento está definido por una curva.$\mathbb R \ni t \mapsto (q_1(t),\ldots, q_n(t))$. El movimiento en el espacio físico se obtiene entonces simplemente explotando (2),

$$\mathbb R \ni t \mapsto \vec{r}_i(t, q_1(t),\ldots, q_n(t))\:,\quad i=1, \ldots, N \tag{3}\:.$$ Mirando (3), debería ser obvio que la velocidad del punto determinada por $\vec{r}_i$con respecto a $\cal I$es dado por $$\vec{v}_i(t) = \frac{d\vec{r}_i}{dt} = \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial t} +\sum_{k=1}^n \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_k} \dot{q}_k\quad\mbox{with}\quad \dot{q}_k := \frac{dq_k}{dt}\:.$$