hamiltoniano para una partícula con fuerza central

Me piden que escriba una función hamiltoniana detallada para una partícula que se mueve en un potencial central utilizando coordenadas esféricas. Parece que lo hice bien, pero no estoy seguro de si es lo suficientemente "detallado". ¿Puede alguien comprobarlo? Mi progreso:

Lagrangiano:

$$L = T - V = \frac m {2}(\dot{r^2} + r^2 \dot{\theta^2} + r sin^2(\theta) \dot\phi^2) - V(r)$$ Impulsos generalizados: $$p_r = m \dot{r}$$ $$p_\theta = m r^2 \dot{\theta}$$ $$p_\phi = m r^2 sin^2(\theta) \dot{\phi}$$ Y el hamiltoniano es: $$H = \frac 1 {2m}(p_r^2 + \frac {p_\theta^2} {r^2}+ \frac {p_\phi^2} {sin^2(\theta) r^2})+V(r)$$

La principal preocupación es el potencial, dado que es central, solo depende de r y dado que no está dado, supongo que es solo V (r), ¿es correcto?