Ejercicio de desigualdades elementales: ¿cómo 'detectar' la suma correcta de cuadrados? [duplicar]

En vez de$\sqrt 3$aquí está el algoritmo matricial para el coeficiente$1.$Intentaré$\sqrt 3$en poco tiempo

La positividad se muestra en la matriz.$D.$entonces es matriz$Q$que llena los términos lineales, como en: duplica tu forma (coeficiente$1$) es

$$2 \left( a + \frac{c}{2} - \frac{d}{2} \right)^2 + 2 \left( b + \frac{c}{2} + \frac{d}{2} \right)^2 + \left(c \right)^2 + \left( d\right)^2$$

$$Q^T D Q = H$$

$$\left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{ 1 }{ 2 } & \frac{ 1 }{ 2 } & 1 & 0 \\ - \frac{ 1 }{ 2 } & \frac{ 1 }{ 2 } & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrr} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & \frac{ 1 }{ 2 } & - \frac{ 1 }{ 2 } \\ 0 & 1 & \frac{ 1 }{ 2 } & \frac{ 1 }{ 2 } \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrrr} 2 & 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 & 2 \\ \end{array} \right)$$

$$\bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc$$

Permitiendo el coeficiente$\sqrt 3$para ser reemplazado por variable$x$obtenemos

$$Q^T D Q = H$$

$$\left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{ 1 }{ 2 } & \frac{ x }{ 2 } & 1 & 0 \\ - \frac{ x }{ 2 } & \frac{ 1 }{ 2 } & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrr} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3-x^2}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{3-x^2}{2} \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & \frac{ 1 }{ 2 } & - \frac{ x }{ 2 } \\ 0 & 1 & \frac{ x }{ 2 } & \frac{ 1 }{ 2 } \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrrr} 2 & 0 & 1 & - x \\ 0 & 2 & x & 1 \\ 1 & x & 2 & 0 \\ - x & 1 & 0 & 2 \\ \end{array} \right)$$

con la expansión resultante

$$2 \left( a + \frac{c}{2} - \frac{dx}{2} \right)^2 + 2 \left( b + \frac{cx}{2} + \frac{d}{2} \right)^2 + \left( \frac{3-x^2}{2} \right) \left(c \right)^2 + \left( \frac{3-x^2}{2} \right) \left( d\right)^2$$

Una vez que establecemos$x = \sqrt 3$obtenemos

$$2 \left( a + \frac{c}{2} - \frac{d\sqrt3}{2} \right)^2 + 2 \left( b + \frac{c\sqrt3}{2} + \frac{d}{2} \right)^2$$

$$\bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc$$

Hay una interpretación geométrica. Dejar$v=(a,b),\ w=(c,d)$denota dos vectores en$\mathbb{R}^2.$con longitudes$r$y$s$respectivamente, y el ángulo$\phi$entre ellos. Entonces

$$ac+bd=rs\, \cos\phi, \quad ad-bc= rs\, \sin \phi.$$ La mano izquierda de la desigualdad toma la forma $$\begin{multline*} r^2+s^2 +rs\,\cos\phi \ge 2rs +rs\,\cos\phi \\ =rs(2 +\cos\phi) \ge rs(2-|\cos\phi|).\end{multline*}$$ Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz obtenemos $$\sqrt{3}|\sin\phi| +|\cos\phi|\le 2.$$ De este modo $$rs(2 -|\cos\phi|)\ge \sqrt{3}\,rs\,|\sin\phi|.$$ La última expresión es igual al lado derecho de la desigualdad deseada.

$a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd -\sqrt{3}(ad-bc) \geq 0 \tag{1}$

Completar los cuadrados se hace más fácil introduciendo un factor de$\,2\,$, Entonces deja$\,\lambda = \frac{1}{2}\,$y$\,\mu = \frac{\sqrt{3}}{2}\,$, entonces el LHS de$(1)$Se puede escribir como:

$$a^2+b^2+c^2+d^2+ 2\lambda(ac+bd) - 2\mu(ad-bc)$$

$$\begin{align} = \;\;\;& a^2 + 2a(\lambda c - \mu d) \color{red}{+(\lambda c - \mu d)^2-(\lambda c - \mu d)^2} \\ + \;&b^2+2b(\mu c + \lambda d) \color{blue}{+(\mu c + \lambda d)^2 -(\mu c + \lambda d)^2} \\ + \;& c^2 + d^2 \end{align}$$ $$\require{cancel} \begin{align} = \;\;\;& (a+\lambda c - \mu d)^2 + (b + \mu c + \lambda d)^2 \\ - \;& \color{red}{\lambda^2c^2+ \cancel{2 \mu\lambda cd} - \mu^2 d^2} - \color{blue}{\mu^2 c^2 - \cancel{2 \mu\lambda cd} - \lambda^2d^2} + c^2 + d^2 \end{align}$$ $$= (a+\lambda c - \mu d)^2 + (b + \mu c + \lambda d)^2 + (1 - \lambda^2 - \mu^2)(c^2+d^2)$$

La expresión se reduce a la suma de dos cuadrados cuando$\,\lambda^2+\mu^2=1$, como en la pregunta de OP.

Estoy de acuerdo en que es un poco un salto, pero no está completamente fuera de discusión llegar a esta respuesta por su cuenta. Aquí está mi proceso de pensamiento sobre esto:

Tengo una gran cosa cuadrática y quiero convertirla en una suma de cuadrados. Lo primero que intento es agrupar, y los términos$ac$y$bd$dame una idea para agrupar asi.

$$(a^2 + c^2 + ac) + (b^2 + d^2 + bd) - \sqrt{3}ad + \sqrt{3}bc$$

Eso no funcionó del todo debido a esos dos últimos términos. Como no podemos factorizarlos de forma independiente, quiero intentar encontrar un "vínculo" entre ellos. Básicamente, si puedo poner un$c$en el$ad$término y un$d$en el$bc$término, entonces sugiere una agrupación donde$a$y$b$son independientes pero$c$y$d$están en ambos. Con eso en mente, es un poco más claro que un$cd$término haría el truco. Como no puedo cambiar nada, necesito uno positivo y uno negativo, dándome algo como

$$(a^2 + c^2 + ac) + (b^2 + d^2 + bd) - \sqrt{3}(a-c)d + \sqrt{3}(b-d)c$$

Esa es toda la confirmación que necesito para al menos probar esos grupos. Eso significa que estoy buscando algunos coeficientes que me permitan factorizar como

$$(x_aa+x_cc+ x_dd)^2 + (y_bb+y_dd +y_cc)^2$$

Desde$a$y$b$son independientes, sus respectivos grupos son la única manera de obtener [$a^2$y$ac$] y [$b^2$y$bd$]. Una comprobación rápida muestra que$x_a = y_b = 1$y$x_c = y_d = 1/2$. Queda por encontrar valores para$x_d$y$y_c$. Sé cuáles deberían ser sus cuadrados, por lo que me da ecuaciones simples

$$x_d^2 + (1/2)^2 = 1 \\ y_c^2 + (1/2)^2 = 1$$

que puedo resolver directamente o acceder al centro trigonométrico de mi cerebro para darme cuenta de que$x_d = y_c = \pm\sqrt{3}/2$. Esto me da una factorización propuesta de

$$\left(a + \frac{1}{2}c \pm \frac{\sqrt 3}{2}d\right)^2 + \left(b + \frac{1}{2}d \pm \frac{\sqrt 3}{2}c\right)^2$$

y todo lo que queda es verificar que efectivamente es una factorización (y resolver los signos) evaluando el$ad$y$bc$términos. Y, por supuesto, puedo factorizar el$1/2$de cada cuadrado como$1/4$para obtener la forma que muestran.

Podrías usar la identidad:

$$(ap+br+cs)^2+(aq+bs-cr)^2$$

$$=(a^2p^2+b^2r^2+c^2s^2+2abpr+2acps+2bcrs)+(a^2q^2+b^2s^2+c^2r^2+2abqs-2acqr-2bcrs)$$

$$=(a^2p^2+b^2r^2+c^2s^2+2abpr+2acps)+(a^2q^2+b^2s^2+c^2r^2+2abqs-2acqr)$$

$$=a^2(p^2+q^2)+(b^2+c^2)(r^2+s^2)+2ab(pr+qs)+2ac(ps-qr)$$

Si$a^2=b^2+c^2$, dividiendo por$a^2$deja los cuatro cuadrados intactos.