¿Cómo funciona la desigualdad triangular aquí?

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¿Cómo funciona la desigualdad triangular aquí?

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saad júnior

En la solución de un problema de la Olimpiada Matemática Canadiense, utilizaron la desigualdad triangular. El problema es el siguiente. el problema es el cuarto problema de la olimpiada nacional de Canadá de 2019.

Dejar $n$ ser un entero mayor que 1.Sea $a_0,a_1,a_2,...a_n$ ser números reales con $a_1=a_{n-1}$ =0 demuestre que para cualquier número real k,

\begin{aligned} | a_{0} | - | a_{norte} | \leq \sum_{i = 0}^{norte - 2} | a_{i} + k a_{i + 1} + a_{i + 2} | \end{aligned}

$\begin{align*}|a_0|-|a_n|\le\sum_{i=0}^{n-2}|a_i+ka_{i+1}+a_{i+2}|\end{align*}$ aquí está la solución oficial https://www2.cms.math.ca/Competitions/CMO/archive/sol2019.pdf Cómo se usa la desigualdad triangular aquí en álgebra. ¿Alguien puede decirme cómo se usa la desigualdad triangular en álgebra?

Respuestas (2)

¿Cómo funciona la desigualdad triangular aquí?

eric torres · Answer 1

De

0 = - a_{0} z^{2} + \sum_{i = 0}^{norte - 2} (a_{i} - k a_{i + 1} - a_{i + 2}) z^{i + 2} + a_{norte} z^{norte},

$0 = -a_0 z^2 + \sum_{i=0}^{n-2}(a_i - k a_{i+1} - a_{i+2})z^{i+2} + a_n z^n \text{,}$ tenemos

\begin{aligned} a_{0} z^{2} & = \sum_{i = 0}^{norte - 2} (a_{i} - k a_{i + 1} - a_{i + 2}) z^{i + 2} + a_{norte} z^{norte} \\ | a_{0} z^{2} | & = | \sum_{i = 0}^{norte - 2} (a_{i} - k a_{i + 1} - a_{i + 2}) z^{i + 2} + a_{norte} z^{norte} | \end{aligned}

$\begin{align*} a_0 z^2 &= \sum_{i=0}^{n-2}(a_i - k a_{i+1} - a_{i+2})z^{i+2} + a_n z^n \\ |a_0 z^2| &= \left|\sum_{i=0}^{n-2}(a_i - k a_{i+1} - a_{i+2})z^{i+2} + a_n z^n \right| \\ \end{align*}$ El lado izquierdo es

| a_{0} | | z |^{2}

$|a_0| \, |z|^2$ . Aplicando la desigualdad del triángulo al lado derecho dos veces, obtenemos

\begin{aligned} | \sum_{i = 0}^{norte - 2} (a_{i} - k a_{i + 1} - a_{i + 2}) z^{i + 2} + a_{norte} z^{norte} | \\ \leq | \sum_{i = 0}^{norte - 2} (a_{i} - k a_{i + 1} - a_{i + 2}) z^{i + 2} | + | a_{norte} z^{norte} | \\ = | a_{norte} z^{norte} | + | \sum_{i = 0}^{norte - 2} (a_{i} - k a_{i + 1} - a_{i + 2}) z^{i + 2} | \\ \leq | a_{norte} z^{norte} | + \sum_{i = 0}^{norte - 2} | (a_{i} - k a_{i + 1} - a_{i + 2}) z^{i + 2} | \\ = | a_{norte} | | z |^{norte} + \sum_{i = 0}^{norte - 2} | a_{i} - k a_{i + 1} - a_{i + 2} | | z |^{i + 2} . \end{aligned}

$\begin{align*} &\left|\sum_{i=0}^{n-2}(a_i - k a_{i+1} - a_{i+2})z^{i+2} + a_n z^n \right| \\ &\qquad\leq \left|\sum_{i=0}^{n-2}(a_i - k a_{i+1} - a_{i+2})z^{i+2}\right| + \left|a_n z^n \right| \\ &\qquad = \left|a_n z^n \right| + \left|\sum_{i=0}^{n-2}(a_i - k a_{i+1} - a_{i+2})z^{i+2}\right| \\ &\qquad \leq \left|a_n z^n \right| + \sum_{i=0}^{n-2}\left|( a_i - k a_{i+1} - a_{i+2})z^{i+2} \right| \\ &\qquad = |a_n| \, |z|^n + \sum_{i=0}^{n-2}\left|a_i - k a_{i+1} - a_{i+2} \right| |z|^{i+2} \text{.} \end{align*}$

carlos reyes valdivieso · Answer 2

con la ecuacion

a_{0} z^{2} = a_{norte} z^{norte} + \sum_{i = 0}^{norte - 2} (a_{i} - k a_{i + 1} - a_{i + 2}) z^{i + 2}

$a_0z^2=a_nz^n+\sum_{i=0}^{n-2}(a_i-ka_{i+1}-a_{i+2})z^{i+2}$ usando la desigualdad triangular, tenemos

\begin{aligned} | a_{0} z^{2} | & = | a_{norte} z^{norte} + \sum_{i = 0}^{norte - 2} (a_{i} - k a_{i + 1} - a_{i + 2}) z^{i + 2} | \\ \leq | a_{norte} z^{norte} | + | \sum_{i = 0}^{norte - 2} (a_{i} - k a_{i + 1} - a_{i + 2}) z^{i + 2} | \end{aligned}

$\begin{align*} |a_0z^2|&=\left|a_nz^n+\sum_{i=0}^{n-2}(a_i-ka_{i+1}-a_{i+2})z^{i+2}\right|\\ &\leq |a_nz^n|+\left|\sum_{i=0}^{n-2}(a_i-ka_{i+1}-a_{i+2})z^{i+2}\right| \end{align*}$ y usando de nuevo

n - 1

$n-1$ veces con

\sum_{i = 0}^{n - 2} (a_{i} - k a_{i + 1} - a_{i + 2}) z^{i + 2}

$\sum_{i=0}^{n-2}(a_i-ka_{i+1}-a_{i+2})z^{i+2}$ obtienes la desigualdad mostrada

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eric torres

carlos reyes valdivieso

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