Desigualdad, encontrar constante

Ya que debe ser cierto para todos$x,y$entonces debe ser cierto también para$x=y$y obtenemos

$$Ct^2-4t+3\geq 0$$ dónde$t=x^2+1\geq 1$.

Claramente$C>0$entonces podemos reescribirlo así

$$(Ct-2)^2 -4+3C\geq 0$$

Si$C<4/3$entonces para$t={2\over c} >1$

obtenemos

$$-4+3C\geq 0 \implies C\geq {4\over 3}$$

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Ahora, el juego aún no ha terminado. Debe demostrar que este valor realmente funciona para todos$x,y$:

$$3+3x^2+6xy+3y^2\leq 4+4x^2+4y^2+4x^2y^2$$ que es equivalente a $$0\leq (x-y)^2+(2xy-1)^2$$ lo cual es obviamente cierto.

Verificación sencilla

Una vez que sabemos que la constante es$\frac43$, la desigualdad es bastante simple.

$$1+(x+y)^2\le\frac43\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\tag1$$ es equivalente a $$\color{#C00}{1+4x^2y^2}+\color{#090}{x^2+y^2}\ge6xy\tag2$$ lo cual es cierto porque el AM-GM dice$\color{#C00}{1+4x^2y^2}\ge4xy$y$\color{#090}{x^2+y^2}\ge2xy$. La igualdad se alcanza cuando$x=y=\frac1{\sqrt2}$.

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Argumento variacional para obtener la constante

Supongamos que tenemos$\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)$arreglado y deseamos maximizar$1+(x+y)^2$. Es decir, para todos$\delta x,\delta y$de modo que

$$2x\left(1+y^2\right)\delta x+2y\left(1+x^2\right)\delta y=0\tag3$$ también tenemos $$2(x+y)(\delta x+\delta y)=0\tag4$$ $(3)$,$(4)$, y la ortogonalidad implica que hay un$\lambda$de modo que $$2(x+y)=\lambda2x\left(1+y^2\right)\qquad\text{and}\qquad2(x+y)=\lambda2y\left(1+x^2\right)\tag5$$ lo que implica $$x+\frac1x=y+\frac1y\tag6$$ Lo que significa que $$y=x\qquad\text{or}\qquad y=\frac1x\tag7$$ Dejar$\boldsymbol{y=\frac1x}$ $$\begin{align} \frac{1+(x+y)^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)} &=\frac{1+\left(x+\frac1x\right)^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+\frac1{x^2}\right)}\\ &=\frac{1+\left(x+\frac1x\right)^2}{\left(x+\frac1x\right)^2}\\ &\le\frac54\tag8 \end{align}$$ desde$x+\frac1x\ge2$(igualdad cuando$x=y=1$).

Dejar$\boldsymbol{x=y}$

$$\begin{align} \frac{1+(x+y)^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)} &=\frac{1+4x^2}{1+2x^2+x^4}\\ &=16\frac{1+4x^2}{16+32x^2+16x^4}\\[6pt] &=\frac{16}3\frac1{\frac{1+4x^2}3+2+\frac3{1+4x^2}}\\ &\le\frac43\tag9 \end{align}$$ desde$\frac{1+4x^2}3+\frac3{1+4x^2}\ge2$(igualdad cuando$x=y=\frac1{\sqrt2}$).

Por lo tanto, obtenemos que

$$1+(x+y)^2\le\frac43\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\tag{10}$$

El comando de Mathematica

Resolve[ForAll[{x, y}, 1 + (x + y)^2 <= c*(1 + x^2)*(1 + y^2)], Reals]

respuestas$c\geq \frac{4}{3}$

Suma. y el comando de Mathematica

Maximize[(1 + (x + y)^2)/(1 + x^2)/(1 + y^2), {x, y}]

$\left\{\frac{4}{3},\left\{x\to -\frac{1}{\sqrt{2}},y\to -\frac{1}{\sqrt{2}}\right\}\right\}$

muestra cómo obtenerlo a mano.

Afirmación: Demostraremos que$1 + (x+y)^2 \leq \frac{4}{3} ( 1+x^2)(1+y^2)$.

Prueba: Al expandir, WTS

$$4x^2y^2 + x^2 + y^2 + 1 \geq 6 xy.$$

Esto es cierto aplicando AM-GM creativamente:

$4x^2 y^2 + 1 \geq 4 |xy | \geq 4 xy$.
$x^2 + y^2 \geq 2 | xy | \geq 2xy$.

La igualdad se cumple iff$2xy = 1$,$x = y$y$xy \geq 0$, lo que da el conjunto solución$x = y = \pm \frac{1}{ \sqrt{2} }$.
Esta solución establece también lo que$\frac{4}{3}$es el menor valor posible de$C$.

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Nota:

• En cuanto a cómo se puede adivinar el valor de$C$, usamos la enorme simplificación de las ilusiones que$x=y$, y tenemos la ecuación cuadrática en$t = x^2$de
  $$C t ^2 + ( 2 C - 4 )t + ( C - 1 ) \geq 0 \quad t \geq 0.$$ Para satisfacer esto, requerimos
  A) Si$t = - \frac{ 2C-4}{C } \geq 0$, entonces$f(t) \geq 0$ $\Rightarrow$si$0 < C < 2$, entonces$C \leq \frac{4}{3}$, por lo que el conjunto solución es$2 > C \geq \frac{4}{3}$.
  B) Más si$t = - \frac{ 2C-4}{C } \leq 0$, entonces$f(0) \geq 0$ $\Rightarrow$Si$t < 0$o$t > 2$, entonces$C > 1$. Entonces el conjunto solución es$C \geq 2$.
  Por eso,$C \geq \frac{4}{3}$, por lo que el valor mínimo a intentar es$C = \frac{4}{3}$.
  Tenga en cuenta que esto podría no funcionar porque la condición de igualdad podría no ocurrir en$x = y$.

Similar a @Acqua , lo obtuve de esta manera:

ya que tiene que satisfacer$\forall x,y \in {\Bbb R}$, debe satisfacer$x=y=0$. Entonces esto da$C(1+0)(1+0) \geqslant 1+0 \iff C \geqslant 1$.

También si$x=y$, entonces$C(1+x^{2})^{2} \geqslant 1 + (2x)^2 \iff C(1+x^{2})^{2} \geqslant 1 + 4x^2 \iff C(1+x^{2})^{2} - 4x^2 - 1 \geqslant 0 \iff C(1+x^{2})^{2} - 4(x^2 + 1) + 3 \geqslant 0$. Sustituyendo$z = x^2 + 1 \geqslant 1, \forall x \in \Bbb R$, y como es verdad$\forall z \in \Bbb R$tal que$z \geqslant 1$, implica que$Cz^2 -4z +3 \geqslant 0$también es cierto

Note que esta es una ecuación cuadrática, y si resolvemos para$z$, tenemos:

$$z = \frac{{ - ( - 4) \pm \sqrt {{{( - 4)}^2} - 4(C)(3)} }}{{2C}} = \frac{{4 \pm \sqrt {16 - 12C} }}{{2C}}$$ Desde$C \geqslant 1$y$z \in \Bbb R$tal que$z \geqslant 1 \Rightarrow$el discriminante$d$de la desigualdad cuadrática es$0$o menos de$0$(porque$16 - 12C \leqslant 0$para algunos$C \in \Bbb R$). Si$d$(discriminante de la ecuación cuadrática) es menor que$0$,$z$tiene raíces complejas. Por lo tanto,$d=0 \Rightarrow 16 - 12C = 0 \Rightarrow C = \frac{4}{3}$.

Prueba

Si$C= \frac {4}{3}$, esto implica que$\frac{4}{3}(1+x^2)(1+y^2) \geqslant 1 + (x+y)^2$. Usando algo de álgebra,

$$\frac{4}{3}(1+x^{2}y^{2}+x^2+y^2) \geqslant 1 + x^2 + 2xy + y^2$$

$$\frac{4}{3} + \frac{4}{3}{x^2} + \frac{4}{3}{y^2} + \frac{4}{3}{x^2}{y^2} - {x^2} - {y^2} - 2xy - 1\geqslant 0$$

$$\frac{1}{3} + \frac{1}{3}{x^2} + \frac{1}{3}{y^2} + \frac{4}{3}{x^2}{y^2} - 2xy \geqslant 0$$

$$\frac{1}{3} + \frac{1}{3}{x^2} + \frac{1}{3}{y^2} + \frac{4}{3}{x^2}{y^2} \geqslant 2xy$$

LHS siempre es positivo y el RHS puede ser negativo. Multiplicando todo por 3, tenemos:

$$1 + x^2 + y^2 + 4x^{2}y^{2} \geqslant 6xy$$

$$1 + x^2 + y^2 + 2x^{2}y^{2} + 2x^{2}y^{2} \geqslant 6xy$$

$$1 + (x+y)^2 \geqslant 6xy - 2x^{2}y^{2}$$

Caso 1:

Si$x=o$y$y=\text{free} \Rightarrow 1 + y^2 \geqslant 0$(Verdadero)

Caso2:

Si$y=o$y$x=\text{free} \Rightarrow 1 + x^2 \geqslant 0$(Verdadero)

Caso 3:

Si$x=y \Rightarrow 1 + 4x^2 \geqslant 1 \geqslant 0 \geqslant x^{2}(6-2x^2)$(porque$x^2 \geqslant 0$y$6 - 2x^2 \leqslant 0 \Rightarrow x^{2}(6-2x^2) \leqslant 0$) (Verdadero)

Caso 4:

Si$x=y=0 \Rightarrow 1 \geqslant 0$(verdadero)

Caso 5:

WLOG, si$x = \text{fixed}$y$y = \text{variable} \Rightarrow x=a= \text{constant}$y$1 + (a+y)^2 \geqslant 6ay-2a^{2}y^{2}$.

GRÁFICO : Al observar el gráfico, vemos que esto siempre es cierto.

ALGEBRAICAMENTE :$1 + a^2 + 2ay - 6ay + y^2 + 2a^{2}y^{2} \geqslant 0$(mover cosas en el LHS). Entonces, al agrupar:

$$(1+a^2) -4ay + (1+2a^2)y^2 \geqslant 0$$ . Veamos sus raíces:

$$\eqalign{ & y = \frac{{4a \pm \sqrt {16{a^2} - 4(1 + {a^2})(1 + 2{a^2})} }}{{2 + 4{a^2}}} \cr & = \frac{{4a \pm \sqrt { - 4 + 4{a^2} - 8{a^4}} }}{{2 + 4{a^2}}} \cr}$$

Pero, el discriminante es siempre menor que$0$. Esto implica que la cuadrática es en realidad mayor que$0$, es decir$(1+a^2) -4ay + (1+2a^2)y^2 > 0$

QED

$\textbf{1. Solution.}$Encontremos mínimo$C,$de modo que

$$1+(x+y)^2 \leq C(1+x^2)(1+y^2). \tag{1}$$ Ponemos en (1) los valores$x=y=1 / \sqrt{2}$y obten $$3 \leq C\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2}\right)=\frac{9}{4} C$$ y así necesariamente$C \geq 4 / 3$. Para todos los números reales$x, y$mantiene la desigualdad $$0 \leq(x-y)^{2}+(2 x y-1)^{2} .$$ Rendimiento de transformaciones equivalentes$6 x y \leq x^{2}+y^{2}+4 x^{2} y^{2}+1$. De esto se sigue más $$3+3 x^{2}+6 x y+3 y^{2} \leq 4+4 x^{2}+4 y^{2}+4 x^{2} y^{2}$$ y finalmente $$\begin{equation} 1+(x+y)^{2} \leq \frac{4}{3}\left(1+x^{2}\right)\left(1+y^{2}\right) \tag{2} \end{equation}$$ Si$C \geq 4 / 3$se cumple, entonces (1) se sigue inmediatamente de (2). Así, el número más pequeño$C$estamos buscando cuál satisface (1) para todos los números reales$x$y$y$es$C=4 / 3$.
Por supuesto, surge la pregunta de cómo llegar a tal solución, cómo encontrar los valores$x=y=1 / \sqrt{2}$o$C=4 / 3$. Aquí ayuda la intuición heurística, por ejemplo, uno puede calcular a través del caso especial$x=y$.

\textbf{2. solución.} Mostramos que uno también puede resolver el problema directamente, sistemáticamente y paso a paso como un problema de valores extremos. Al hacerlo, prescindimos del cálculo diferencial y solo consideramos cómo determinar el mínimo de una función$y=x^{2}$para$x \geq a$. (Cf. Fig. 1.)

Obtenemos el mínimo único

$$\begin{equation} x_{\min }=\left\{\begin{array}{lll} 0 & \text { falls } & a<0 \\ a & \text { falls } & a \geq 0 \end{array}, \quad \text { with the minimum } \quad y_{\min }=\left\{\begin{array}{lll} 0 & \text { falls } & a<0 \\ a^{2} & \text { falls } & a \geq 0 \end{array} .\right.\right. \tag{3} \end{equation}$$

Para desacoplar al menos parcialmente el lado izquierdo en (1) del lado derecho, transformamos para que dependa de una sola variable,

$$x=s+t, \quad y=-s+t, \quad \text { so } \quad s=\frac{1}{2}(x-y), \quad t=\frac{1}{2}(x+y) .$$ Esto convierte el lado izquierdo en$1+(x+y)^{2}=1+4 t^{2}$y la desigualdad se satisface exactamente si es correcta para todos$t$y el minimo$s=s_{\min }$del lado derecho. Calculamos este mínimo (ignorando por ahora el factor$C$, que obviamente debe ser positivo). $$\begin{aligned} \left(1+x^{2}\right)\left(1+y^{2}\right) &=\left(1+s^{2}+t^{2}+2 s t\right)\left(1+s^{2}+t^{2}-2 s t\right) \\ &=\left(1+s^{2}+t^{2}\right)^{2}-4 s^{2} t^{2}=\left(1+s^{2}+t^{2}\right)^{2}-4\left(1+s^{2}\right) t^{2}+4 t^{2} \\ &=\left(1+s^{2}-t^{2}\right)^{2}+4 t^{2} \end{aligned}$$ Podemos aplicar (3) con$x=1+s^{2}-t^{2}$y$a=1-t^{2}$y obtener $$\left(1+x^{2}\right)\left(1+y^{2}\right)=\left\{\begin{array}{ll} 4 t^{2} & \text { for } s^{2}=t^{2}-1>0, \\ \left(1-t^{2}\right)^{2}+4 t^{2}=\left(1+t^{2}\right)^{2} & \text { with } s^{2}=0, \text { for } t^{2} \leq 1 \end{array}\right.$$ Entonces distinguimos los dos casos.$t^{2} \leq 1$y$t^{2}>1$.

$\textit{Case 1.}$Para$t^{2} \leq 1$es (1) exactamente para$1+4 t^{2} \leq C\left(1+t^{2}\right)^{2}$Está satisfecho. Después de la división por$C>0$esto es equivalente a

$$\begin{equation} \begin{array}{r} t^{4}+2(1-2 / C) t^{2}+1-1 / C \geq 0.\\ \left(t^{2}+1-2 / C\right)^{2}+(3 C-4) / C^{2} \geq 0 \end{array} \tag{4} \end{equation}$$ Para obtener el valor más pequeño del lado izquierdo, podemos aplicar (3) nuevamente. Obtenemos los dos casos. $$\begin{array}{clrrr} 3 C-4 \geq 0, & \text { for the case } & t_{\min }^{2}=2 / C-1 \geq 0, & \text { i.e., if } & C \leq 2, \\ 1-1 / C \geq 0 & \text { or } \quad C \geq 1 & \text { and } \quad t_{\min }=0, & \text { if } & C>2. \end{array}$$ En resumen, (4) se cumple para todos los bienes$t$Exactamente cuando$C \geq 4 / 3$. Desde hace$C \geq 4 / 3$siempre$t_{\min }^{2} \leq 2 \cdot 3 / 4-1=1 / 2<1$se cumple, esta equivalencia de condiciones también es válida bajo la restricción$t^{2} \leq 1$es válida.

$\textit{Case 2.}$Para el otro caso,$t^{2}>1$,$1+4 t^{2} \leq C \cdot 4 t^{2}$o$4(C-1) t^{2} \geq 1$debe ser probado. Primero,$C-1>0$debe sostener el minimo de$t^{2}$para$t^{2} \geq 1$es$t^{2}=1$, por lo que la estimación se cumple para todos$t$del segundo caso exactamente si$4(C-1) \geq 1$se cumple, pero esto siempre se cumple si la condición$4 \leq 3 C$del primer caso ya está satisfecho.

La desigualdad (1) se cumple exactamente para todo$x$y$y$, respectivamente para todos los números reales$s$y$t$, si$C \geq 4 / 3$sostiene La constante más pequeña que buscamos es$C=4 / 3$.$\diamond$