∑i El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-30T13:08:07.283Z dilemático El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-30T13:08:07.283Z Un amigo mío me planteó el siguiente problema al estilo de las olimpiadas y no pude resolverlo. Lo publico aquí para obtener algunos consejos o sugerencias al respecto. DejarX1, … ,Xnorte X 1 , … , X norte x_1,\ldots,x_nsernorte norte nnúmeros reales positivos distintos, dondenorte ≥ 2 norte ≥ 2 n\geq2. Supongamos que la suma de productos de 2 números entre ellos, es igual a 1. Es decir; ∑yo < jXiXj= 1. ∑ i < j X i X j = 1. \sum_{i<j}x_i x_j=1. Demostrar que existe algún índicek k ktal que∑yo ≠ kXi<2–√ ∑ i ≠ k X i < 2 \sum_{i\ne k}x_i<\sqrt{2}. combinatoria desigualdad concurso-matematicas El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-30T13:08:07.283Z Theo Bendit El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-30T13:08:07.283Z Supongamos que este no es el caso, y consideremos S=(∑iXi)2=∑iX2i+ 2∑yo < jXiXj=∑iX2i+ 2. S = ( ∑ i X i ) 2 = ∑ i X i 2 + 2 ∑ i < j X i X j = ∑ i X i 2 + 2. S = \left(\sum_i x_i\right)^2 = \sum_i x_i^2 + 2\sum_{i < j} x_ix_j = \sum_i x_i^2 + 2.Por otra parte, también podemos expresarS S Sde la siguiente manera: S=∑kX2k+∑kXk(∑yo ≠ kXi)≥∑kX2k+2–√∑kXk S = ∑ k X k 2 + ∑ k X k ( ∑ i ≠ k X i ) ≥ ∑ k X k 2 + 2 ∑ k X k \begin{align*} S &= \sum_k x_k^2 + \sum_k x_k \left( \sum_{i \neq k} x_i\right) \\ &\ge \sum_k x_k^2 + \sqrt{2}\sum_k x_k \end{align*}Comparando las dos expresiones, obtenemos 2–√∑kXk≤ 2⟹∑kXk≤2–√, 2 ∑ k X k ≤ 2 ⟹ ∑ k X k ≤ 2 , \sqrt{2}\sum_k x_k \le 2 \implies \sum_k x_k \le \sqrt{2},lo que contradice la suposición. El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-30T13:08:07.283Z grand_chat El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-30T13:08:07.283Z Una prueba directa: (mink∑yo ≠ kXi)2< (∑kXk) (mink∑yo ≠ kXi) ≤∑kXk∑yo ≠ kXi= 2∑yo < jXiXj= 2 ( min k ∑ i ≠ k X i ) 2 < ( ∑ k X k ) ( min k ∑ i ≠ k X i ) ≤ ∑ k X k ∑ i ≠ k X i = 2 ∑ i < j X i X j = 2. \left(\min_k\sum_{i\ne k}x_i\right)^2 < \left(\sum_kx_k\right)\left(\min_k\sum_{i\ne k}x_i\right) \le \sum_kx_k\sum_{i\ne k}x_i =2\sum_{i<j}x_ix_j=2. La primera desigualdad es estricta ya que cadaXi X i x_ies positivo. El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-30T13:08:07.283Z

Un amigo mío me planteó el siguiente problema al estilo de las olimpiadas y no pude resolverlo. Lo publico aquí para obtener algunos consejos o sugerencias al respecto.

Dejar X 1 , … , X norte ser norte números reales positivos distintos, donde norte ≥ 2 .

Supongamos que la suma de productos de 2 números entre ellos, es igual a 1. Es decir;

∑ i < j X i X j = 1.

Demostrar que existe algún índice k tal que ∑ i ≠ k X i < 2 .

Respuestas (2)

Supongamos que este no es el caso, y consideremos

S = ( ∑ i X i ) 2 = ∑ i X i 2 + 2 ∑ i < j X i X j = ∑ i X i 2 + 2.
Por otra parte, también podemos expresar S de la siguiente manera:
S = ∑ k X k 2 + ∑ k X k ( ∑ i ≠ k X i ) ≥ ∑ k X k 2 + 2 ∑ k X k
Comparando las dos expresiones, obtenemos
2 ∑ k X k ≤ 2 ⟹ ∑ k X k ≤ 2 ,
lo que contradice la suposición.

Una prueba directa:

( min k ∑ i ≠ k X i ) 2 < ( ∑ k X k ) ( min k ∑ i ≠ k X i ) ≤ ∑ k X k ∑ i ≠ k X i = 2 ∑ i < j X i X j = 2.
La primera desigualdad es estricta ya que cada X i es positivo.

∑i El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-30T13:08:07.283Z dilemático El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-30T13:08:07.283Z Un amigo mío me planteó el siguiente problema al estilo de las olimpiadas y no pude resolverlo. Lo publico aquí para obtener algunos consejos o sugerencias al respecto. DejarX1, … ,Xnorte X 1 , … , X norte x_1,\ldots,x_nsernorte norte nnúmeros reales positivos distintos, dondenorte ≥ 2 norte ≥ 2 n\geq2. Supongamos que la suma de productos de 2 números entre ellos, es igual a 1. Es decir; ∑yo < jXiXj= 1. ∑ i < j X i X j = 1. \sum_{i<j}x_i x_j=1. Demostrar que existe algún índicek k ktal que∑yo ≠ kXi<2–√ ∑ i ≠ k X i < 2 \sum_{i\ne k}x_i<\sqrt{2}. combinatoria desigualdad concurso-matematicas El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-30T13:08:07.283Z Theo Bendit El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-30T13:08:07.283Z Supongamos que este no es el caso, y consideremos S=(∑iXi)2=∑iX2i+ 2∑yo < jXiXj=∑iX2i+ 2. S = ( ∑ i X i ) 2 = ∑ i X i 2 + 2 ∑ i < j X i X j = ∑ i X i 2 + 2. S = \left(\sum_i x_i\right)^2 = \sum_i x_i^2 + 2\sum_{i < j} x_ix_j = \sum_i x_i^2 + 2.Por otra parte, también podemos expresarS S Sde la siguiente manera: S=∑kX2k+∑kXk(∑yo ≠ kXi)≥∑kX2k+2–√∑kXk S = ∑ k X k 2 + ∑ k X k ( ∑ i ≠ k X i ) ≥ ∑ k X k 2 + 2 ∑ k X k \begin{align*} S &= \sum_k x_k^2 + \sum_k x_k \left( \sum_{i \neq k} x_i\right) \\ &\ge \sum_k x_k^2 + \sqrt{2}\sum_k x_k \end{align*}Comparando las dos expresiones, obtenemos 2–√∑kXk≤ 2⟹∑kXk≤2–√, 2 ∑ k X k ≤ 2 ⟹ ∑ k X k ≤ 2 , \sqrt{2}\sum_k x_k \le 2 \implies \sum_k x_k \le \sqrt{2},lo que contradice la suposición. El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-30T13:08:07.283Z grand_chat El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-30T13:08:07.283Z Una prueba directa: (mink∑yo ≠ kXi)2< (∑kXk) (mink∑yo ≠ kXi) ≤∑kXk∑yo ≠ kXi= 2∑yo < jXiXj= 2 ( min k ∑ i ≠ k X i ) 2 < ( ∑ k X k ) ( min k ∑ i ≠ k X i ) ≤ ∑ k X k ∑ i ≠ k X i = 2 ∑ i < j X i X j = 2. \left(\min_k\sum_{i\ne k}x_i\right)^2 < \left(\sum_kx_k\right)\left(\min_k\sum_{i\ne k}x_i\right) \le \sum_kx_k\sum_{i\ne k}x_i =2\sum_{i<j}x_ix_j=2. La primera desigualdad es estricta ya que cadaXi X i x_ies positivo. El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-30T13:08:07.283Z
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