¿Es el principio de Fermat solo una aproximación?

En relatividad general, no está del todo claro qué significa "tiempo mínimo", ya que tienes que preguntar "¿de quién estás hablando de tiempo?". ¿Estás hablando del tiempo medido por el emisor? ¿El receptor? ¿Alguien más "lejos" de ambos? Las tres cantidades pueden ser diferentes.

Más bien, es más productivo decir que los rayos de luz viajan en geodésicas nulas en el espacio-tiempo. Una geodésica es un camino que es "localmente recto"; lo que esto significa es que no hay caminos "cercanos" entre el punto A y el punto B que tengan un intervalo de espacio-tiempo integrado significativamente mayor o menor. Entonces, no se equivoca al decir que la trayectoria del rayo de luz "recorre la distancia más pequeña a través del espacio-tiempo", si reemplaza "recorre la distancia más pequeña" con "es un punto estacionario del intervalo de espacio-tiempo". Hay una similitud entre estas dos nociones, pero la última es matemáticamente más precisa.

Si está familiarizado con el cálculo de variaciones, es posible que desee echar un vistazo rápido a la página de wikipedia sobre geodésicas en relatividad general , particularmente el bit sobre "curvas de intervalo estacionario". También se pueden encontrar notas de conferencias más detalladas aquí , o en muchos otros lugares buscando calculus of variations geodesic spacetimeo alguna variante de las mismas.

Es el camino de menor tiempo.

El principio de Fermat se basó en dos observaciones anteriores: por un lado, los griegos habían notado que en los reflejos, la luz viajaba a lo largo del camino de menor distancia; por otro lado Snell había descubierto y Descartes había popularizado que en la refracción la luz obedecía a una "ley de los senos" que decía que la razón de la velocidad de la luz en los dos medios era igual a la razón de los senos de los ángulos que formaba la luz. con la dirección normal de la interfaz.

Ahora bien, si la luz siempre tomara el camino de menor distancia, la luz no se doblaría cuando entrara en otros medios donde su velocidad es diferente, como los prismas o el agua. Son exactamente equivalentes si no incluimos esta refracción. Lo que dedujo Fermat fue que se podía obtener la ley de Snell suponiendo que en lugar de tomar el camino de menor distancia, la luz toma el camino de menor tiempo, que es equivalente a los efectos de viajar en línea recta o reflejos, pero es diferente para las refracciones.

Ahora, cuando la luz pasa de un medio a otro, la conservación de la energía debe mantenerse en el límite, que por$E=hf$significa que los fotones que ingresan no pueden cambiar su frecuencia sino que deben responder completamente cambiando su longitud de onda. También puede entender esto puramente en un contexto de onda sin ningún cuanto: la onda es continua a lo largo del límite, lo que significa que estos picos de frentes de onda deben ser consistentes a lo largo de la interfaz, pero esto significa que la tasa de tiempo de los picos que ingresan al nuevo medio debe ser exactamente igual a la tasa de tiempo de los picos que salen del anterior, lo que significa que la frecuencia es la misma en ambos. En un sentido profundo, esto nos dice que el "tiempo" es lo que queremos mirar. Déjame darte un poco de gusto por esto.

La teoría cuántica nos da una reinterpretación radical del principio del tiempo mínimo, diciendo que la luz puede tomar todos los caminos de un punto a otro, pero solo vemos los caminos que más importan por su interferencia constructiva. Entonces, puede saber que dos ondas pueden interferir constructivamente,$\cos(2\pi~f~t) + \cos(2\pi~f~t) = 2\cos(2\pi~f~t),$o destructivamente,$\cos(2\pi~f~t) + \cos(2\pi~f~t +\pi) = 0,$o quizás por alguna combinación de los dos. La idea aquí es que tenemos una suma de muchos caminos diferentes, cada uno de los cuales toma algún tiempo.$T$para llegar allí, por lo que la intensidad final de la ola va a ser una gran suma de términos que parece$\cos(2\pi~f~t + 2\pi~f~T)$.

Ahora tomamos un camino con algo de tiempo$T$y un montón de caminos cercanos, ¿qué sucede? Bueno, por lo general, esos caminos cercanos tendrán un rango de tiempos, algunos más largos y otros más cortos. Llama la diferencia horaria$\delta T$. Ya que$f$es un número muy grande, cualquier ruta que sea más de un micrómetro o más larga verá una diferencia de fase$f~\delta T > 1/2$y obtendremos un montón de interferencias constructivas y destructivas que resulta que se cancelan entre sí en el panorama general. ¡Entonces deducimos que si la luz toma todos los caminos, la luz no puede propagarse en absoluto! Genial, ¿verdad?

Bueno, está bien, hay una trampa . El problema es que si observa cualquier ruta extrema local , podría ser la más larga o la más corta, entonces todas las rutas cercanas toman aproximadamente el mismo tiempo y$\delta T = 0.$Es algo así como, si estamos hablando de un gran paisaje montañoso con cimas redondeadas y valles: si algunas personas están de pie una al lado de la otra, es muy probable que algunas de ellas estén paradas encima o debajo de las otras, porque Probablemente estés en una pendiente y luego la pendiente pone a algunos de ellos por encima o por debajo de los otros. Pero hay un par de lugares donde esto no sucede: en la cima de las colinas o en el fondo de los valles, donde para ser "superior" o "inferior", de hecho, localmente, la superficie debe ser "plana". Entonces, todas estas personas paradas una al lado de la otra cerca de la parte superior o inferior del valle tienen que estar a la misma altura. Este es el mismo argumento, pero las "personas" son "caminos que la luz puede tomar", y la "altura" es el "$2\pi~f~T.$

También podemos jugar este juego con las distancias, pero de nuevo es necesario alterar las longitudes de onda cuando consideramos la refracción, porque la longitud de onda no es la misma en todas las interfaces. Pero dado que la frecuencia lo es, podemos mantener el mismo principio de "tiempo mínimo" y hacer que funcione también para la refracción, de una manera que no podemos para la distancia mínima.

1. Bueno, el principio de Fermat generalmente se discute en el contexto de un sistema óptico inmóvil fijo en relación con un marco de laboratorio. El tiempo$t$que es (localmente) extremado es el tiempo de laboratorio$t$, no por ejemplo el momento adecuado$\tau$. (¡Esto último puede no tener mucho sentido para partículas sin masa!)

2. Por lo tanto, el sistema tiene un marco de referencia preferido, a saber, el marco de laboratorio. Por lo tanto, es menos interesante (pero ciertamente posible y sencillo) ir a otros marcos inerciales aplicando transformaciones de Lorentz al tiempo de laboratorio.$t$.

3. El principio de Fermat es ciertamente una aproximación a la QED completa . Ver, por ejemplo , esto y esto Publicaciones de Phys.SE. Pero no es una aproximación a la RS una vez que uno se da cuenta de que el tiempo extremista$t$es el tiempo de laboratorio.

4. Finalmente, mencionemos que el principio de Fermat se parece superficialmente al principio de acción estacionaria de la ecuación geodésica. Ver, por ejemplo , esto y esto Publicaciones de Phys.SE. Pero el diablo está en los detalles: en ese principio de acción estacionaria, es el momento adecuado$\tau$eso es extremado (para partículas puntuales masivas). Para partículas puntuales sin masa, consulte esta y esta publicación de Phys.SE.

Dos comentarios. El primero es sobre terminología. El espacio-tiempo mezcla tiempo y espacio; es la "dimensión" de 4 dimensiones en la que vivimos. Hablar sobre el tiempo o las distancias espaciales por separado requiere que estemos de acuerdo en un marco de referencia (en el más simple, uno inercial, pero, por supuesto, mientras orbitamos la Tierra, el Sol y Milky). Camino, nuestro marco no es inercial). De todos modos, debe tener cuidado al hablar de "tiempo" o "distancia" en el espacio-tiempo. Y si no entiendes la Relatividad (cualquiera de los dos tipos, dependiendo de la discusión), entonces probablemente deberías evitar usar cualquiera de los dos términos. El otro comentario es sobre la ruta de menor tiempo. La luz (en el vacío) viaja a c. Nada puede viajar más rápido. A menudo, los diagramas de espacio-tiempo SR se representan como gráficos con una dimensión espacial (a menudo, la dirección x, pero a veces como una proyección de las tres distancias similares al espacio desde el origen) y el tiempo como la dimensión vertical. Las unidades casi siempre se eligen de modo que la luz viaje en un ángulo de 45°. Entonces, para cualquier punto A en este gráfico, si marco un punto B de modo que el ángulo entre A y B, medido por paralelos al eje del espacio, digamos, sea MENOR de 45°, y luego dibujo un camino entre los puntos, entonces ese camino es "como el espacio" y el viaje hipotético a lo largo de él sería más rápido que la luz. Estos caminos no están permitidos. Su escenario requeriría una ruta no permitida. es MENOS de 45°, y luego dibuja un camino entre los puntos, entonces ese camino es "similar al espacio" y el viaje hipotético a lo largo de él sería más rápido que la luz. Estos caminos no están permitidos. Su escenario requeriría una ruta no permitida. es MENOS de 45°, y luego dibuja un camino entre los puntos, entonces ese camino es "similar al espacio" y el viaje hipotético a lo largo de él sería más rápido que la luz. Estos caminos no están permitidos. Su escenario requeriría una ruta no permitida.

En primer lugar, en relación con la óptica, el principio de Fermat es siempre una aproximación: define una aproximación, es decir, el primer término de la aproximación WKB a la solución de las ecuaciones de Maxwell cuasi-armónicas en el tiempo o, en un contexto más general, la ecuación de Helmholtz. ecuación. Aquí, el parámetro de escala WKB es la longitud de onda, que se considera pequeña en comparación con las características del medio en cuestión. Como se explica maravillosamente en Respuesta de CR Drost , la intuición detrás de esto es que el principio de Fermat define caminos de fase estacionaria alrededor de los cuales se agregan efectos de difracción para obtener la solución completa al problema y es extremadamente aplicable sin aproximación, es decirEl principio de Fermat dará, sin aproximación, el primer término en la expansión WKB relevante en todas las situaciones discutidas a continuación. Estos incluyen todos los problemas relativistas especiales (espacio-tiempo plano) y también los relativistas generales estáticos.

La cantidad extremada, o el Lagrangiano óptico, es la longitud del camino óptico expresada como una diferencia de fase entre los extremos del camino del rayo, en ondas o radianes, por ejemplo. Una lectura cuidadosa y la reflexión sobre la respuesta de CR Drost muestran claramente este hecho. Por lo tanto, probablemente no sea útil pensar en ello como un principio de tiempo mínimo ya que, como en la respuesta de Michael Siefert, esto puede ser problemático en relatividad. Por el contrario, el campo de fase de una excitación óptica en estado estacionario en un medio es un campo escalar , es decir , se transforma como tal.

En la relatividad especial , uno puede ver cómo se desarrolla el principio en dos marcos de inercia relativamente potenciados diferentes al observar el campo óptico de estado estacionario en cuestión desde los dos marcos diferentes en el instante en que los orígenes de sus sistemas de coordenadas coordinan. incide Pongamos uno de los marcos en reposo en relación con los medios materiales en los que se establece el campo. El principio de Fermat se desarrolla de la manera habitual en este marco.

El observador en movimiento relativo ve el medio en coordenadas transformadas de Lorentz. Las ecuaciones de Maxwell siguen siendo covariantes de Lorentz con el medio presente, pero las propiedades del medio y las relaciones constitutivas se transforman radicalmente. Intuitivamente puedes ver que esto es así; la contracción de Lorentz Fitzgerald cambia anisotrópicamente la densidad óptica del medio. De hecho, si tenemos un medio anisótropo simple en el marco de reposo con constantes eléctricas y magnéticas$p_e$y$p_m$(Uno evita epsilons y mus en este tipo de cálculos para evitar confusiones con los índices griegos sobre tensores), el observador en movimiento relativo ve una constante magnetoeléctrica anisotrópica tal que:

donde, naturalmente,$\vec{v}$es la velocidad relativa.

El resultado de todo esto es que ambos observadores calculan el mismo campo de fase escalar a partir de su versión de las ecuaciones de Maxwell, por lo que la trayectoria de un rayo es una trayectoria de longitud de trayectoria óptica extrema en un marco si y solo si es una trayectoria extrema en el otro. Entonces vemos que el principio de Fermat nos da los mismos rayos en ambos casos.

Una peculiaridad aquí es que, en el medio anisotrópico visto por el observador en movimiento relativo, la ley de Snell no se aplica a los rayos en las interfaces, aunque sí se aplica a los vectores de onda. Los frentes de fase no son necesariamente normales a los vectores de Poynting. Esta es la misma situación que en un cristal anisotrópico. Pero el principio de Fermat todavía se aplica.

En Relatividad General debemos tener un poco de cuidado. El principio óptico de Fermat aplica medios invariantes en el tiempo. Por lo tanto, no se puede aplicar (al menos no tengo conocimiento de ninguna extensión) al espacio-tiempo no estático, o al menos a uno sin un campo de muerte similar al tiempo, con o sin medios materiales. Esto se debe a que, en primera instancia, el principio de Fermat se aplica a campos electromagnéticos armónicos en el tiempo, con pulsos y similares descritos por superposiciones de Fourier de soluciones armónicas en el tiempo;

Pero para un espacio-tiempo estático y curvo, la situación es similar a la relativista especial. Diferentes observadores ven las propiedades materiales y constitutivas de un medio de manera diferente, pero todos estarían de acuerdo en el campo de fase escalar para una excitación óptica de estado estable dada del medio, y todos calcularían las mismas trayectorias de rayos a partir del principio de Fermat.

De hecho, un espacio-tiempo curvo vacío y sin medio tiene las relaciones constitutivas (ecuaciones constitutivas de Plebanski, ver J. Plebanski Phys. Rev. 118 (1960), p1396:

donde hemos sumado sobre índices espaciales$1,\,2,\,3$solamente (nótese los índices romanos, en lugar de los griegos) y el$\varepsilon$es el símbolo espacial tridimensional de Levi-Civita. Esta observación es el punto de partida para el campo de la óptica transformacional : el uso de medios metamateriales para imitar la propagación en la parte espacialmente curvada del espacio-tiempo estático curvo. Estas ideas son muy prometedoras para la realización de dispositivos de encubrimiento óptico, por ejemplo: medios materiales cuyas constantes eléctricas, magnéticas y magnetoópticas coincidan con las anteriores propagan la luz, como lo hace, por supuesto, el espacio curvo vacío, sin dispersión. La luz se puede doblar alrededor de los objetos mediante dichos medios sin dispersarse y no es demasiado difícil ver que el objeto que se va a camuflar se puede ocultar dentro de regiones no accesibles para un observador. Véase, por ejemplo:

Ulf Leonhardt y Thomas G. Philbin, "Óptica de transformación y geometría de la luz", Prog. Optar. 53 , págs. 69-152 (2009