¿Cómo se demuestra el principio de tiempo mínimo de Fermat?

Para la óptica geométrica podemos introducir eikonal$\Psi$por relación

$$f = Ae^{-ik_{\mu}r^{\mu} + i\varphi} = Ae^{i\Psi}. \tag 1$$ Para pequeños intervalos de tiempo y longitudes de espacio, eikonal se puede expandir en una forma $$\Psi = \Psi_{0} + \mathbf r \frac{\partial \Psi}{\partial \mathbf r} + t \frac{\partial \Psi}{\partial t},$$ entonces, comparando con el lado izquierdo $(1)$se puede demostrar directamente que $$\mathbf k = \frac{\partial \Psi}{\partial \mathbf r}, \quad \omega = -\frac{\partial \Psi}{\partial t}. \tag 2$$ Entonces al comparar $(2)$con las ecuaciones de Hamilton-Jacobi tenemos una clara analogía: el vector de onda actúa como regla del momento clásico y la frecuencia actúa como regla del hamiltoniano en óptica geométrica. Entonces es posible introducir la analogía del principio de mínima acción para los rayos. Para la luz se puede hacer por el principio de Maupertuis: $$\delta S = \delta \int \mathbf p \,\mathrm d \mathbf l = 0 \to \delta \Psi = \delta \int \mathbf k\,\mathrm d \mathbf l = 0.$$ Por ejemplo, para un espacio ópticamente isotrópico y homogéneo $\mathbf k = \textrm{const} \cdot \mathbf n$, y $$\delta \int \mathrm dl = 0,$$

lo que conduce al principio de tiempo mínimo de Fermat.