Ejemplo: integral iterada y teorema de Fubini

Question

Ejemplo: integral iterada y teorema de Fubini

integración
Matemáticas
análisis real
lebesgue-integral

Ambos Htob

Dejar $X = Y = \mathbb{R}$ y deja $\mathscr{B}$ ser el Borel $\sigma$ -álgebra. Definir

F (X, y) = 1 si X \geq 0, X \leq y < X + 1, = - 1 si X \geq 0, X + 1 \leq y < X + 2, = 0 de lo contrario .

$f(x,y) = 1 \ \mbox{if} \ x \geq 0, x \leq y < x+1,\ \\ \, \, \, = -1 \ \mbox{if} \ x \geq 0, x+1 \leq y < x+2, \\= 0 \ \mbox{otherwise}.$ Muestra esa

\int \int F d X d y \neq \int \int F d y d X .

$\int\int f dxdy \neq \int\int fdydx.$ ¿Esto contradice el teorema de Fubini?

Por la parte de fubini, creo que

\int \int | F | d (metro \times metro) (X, y) = \int \int_{A} 1 d (metro \times metro) (X, y) (= área bajo A) = \infty

$\int\int |f| d(m \times m)(x,y) = \int\int_A 1 d(m \times m)(x,y) (= \ \mbox{area under} A) = \infty$ dónde

A = {(x, y) | x \geq 0, x \leq y < x + 2}

$A = \{(x,y) | x \geq 0, x \leq y < x+2\}$ .

Entonces esta función no es no negativa y no integrable de Lebesgue (lo cual es una suposición requerida para aplicar el Teorema de Fubini).

El primer problema: ¿Hay una mejor manera de argumentar que la integral doble anterior es infinita que decir que la integral representa el área de $A$ ? (No estoy seguro de cómo calcular la integral doble).

La segunda se trata de demostrar que

\int \int F d X d y \neq \int \int F d y d X .

$\int\int f dxdy \neq \int\int f dydx.$ encontré eso

\int \int_{R^{2}} F d y d X = \int_{0}^{\infty} \int_{X}^{X + 1} 1 d y d X + \int_{0}^{\infty} \int_{X + 1}^{X + 2} - 1 d y d X = \infty - \infty

$\int\int_{\mathbb{R}^2} f dydx = \int_0^\infty \int_x^{x+1} 1 dydx + \int_0^\infty\int_{x+1}^{x+2} -1 dydx = \infty - \infty$ que no está realmente definido. Entonces que es

\int \int F d y d X = ? .

$\int\int f dydx = ?.$ ¿O simplemente digo que la integral no se puede calcular? (Creo que

\int \int | f | d y d x = \infty

$\int\int |f| dydx = \infty$ . Entonces esta función ni siquiera es integrable por Lebesgue. En este caso, ¿cómo hablar de

\int \int f d y d x

$\int\int f dydx$ ?)

Yeldarbskich

deberías calcular

\int f d y

$\int f dy$ primero antes de integrar

d x

$dx$ . De esa manera, verá que en realidad está integrando la función cero.

Ambos Htob

@Yeldarbskich ¿Es válido hacer eso? Me refiero al sentido de reordenación de una serie que no es absolutamente convergente, en el sentido de que podemos reorganizar la serie para que la suma sea igual a cualquier número real. Análogamente, ¿está bien agrupar el integrando como

\int \int F d y d X = \int_{0}^{\infty} (\int_{X}^{X + 1} 1 d y + \int_{X + 1}^{X + 2} - 1 d y) d X = 0.

$\int\int f dydx = \int_0^\infty (\int_x^{x+1} 1 dy + \int_{x+1}^{x+2} -1 dy)dx = 0.$ Me parece que la integral no está definida inicialmente.

Yeldarbskich

Así es como debería ser. Cuando hacemos integrales iteradas decimos para cada

x

$x$ definir

g (x) = \int f d y

$g(x)=\int f dy$ sosteniendo

x

$x$ constante y luego realizando la integral. Luego te integras

g (x)

$g(x)$ . También podría hacerlo al revés, y este problema no es un ejemplo de la igualdad de Fubini. En este orden

\int f d y

$\int f dy$ ciertamente es cero.

Ambos Htob

@Yeldarbskich Si es así, ¿debería definir primero

gramo (X) = \int_{X}^{X + 1} 1 d y + \int_{X + 1}^{X + 2} - 1 d y .

$g(x) = \int_x^{x+1}1 dy + \int_{x+1}^{x+2} -1 dy.$ Entonces

g

$g$ es idénticamente cero para cada

x \geq 0.

$x \geq 0.$ Entonces

\int_{x \geq 0} g (x) d x = 0.

$\int_{x \geq 0} g(x) dx= 0.$ "Entonces

\int \int f d y d x = 0

$\int\int f dydx = 0$ (¿Puedo reclamar inmediatamente que

\int \int f d y d x = \int g (x) d x

$\int\int fdydx = \int g(x) dx$ ? )

Yeldarbskich

No estoy muy seguro de cuál es tu confusión. Nosotros escribimos

\int \int f d y d x

$\int \int f dy dx$ significar

\int (\int f d y) d x

$\int \left( \int f dy \right) dx$ y análogamente para el otro orden. Cuando se aplica el teorema de Fubini, podemos ignorar esta distinción ya que son lo mismo.

Ambos Htob

@Yeldarbskich Lo que estoy confundido es cómo se escribe

\int f d y

$\int f dy$ , ya que la región de integración obliga a romper

\int \int F d y d X

$\int\int f dydx$ en dos piezas, y al integrar cada pieza obtengo

\infty - \infty .

$\infty - \infty.$ Entiendo la idea teórica de que

\int \int F d y d X = \int (\int F d y) d X .

$\int\int f dy dx = \int (\int f dy) dx.$ Pero cuando se trata de una integral doble sobre alguna región, ¿es normal encontrar el límite de

x

$x$ y

y

$y$ al mismo tiempo. Quiero decir que ¿cómo puedes simplemente calcular

\int f d y

$\int f dy$ ya que no sabemos como

\int f d y

$\int f dy$ se define ?

Ambos Htob

@Yeldarbskich Creo que la única manera de ver cómo

\int f d y

$\int f dy$ aspecto es escribir la integral iterada

\int \int f d y d x

$\int\int f dydx$ en la forma hago, que parece que la integral se rompe en dos pedazos. Mi preocupación es que cuando nos partimos en dos partes, la integral no existe. Análogamente, es como si tuviéramos

\int F + gramo d X = \int F d X + i norte t gramo d X

$\int f+g dx = \int f dx + int g dx$ con

\int f d x - \int g d x \neq \infty - \infty

$\int f dx - \int g dx \neq \infty - \infty$ . Siento que no puedo escribir

\int \int f dydx = \int_0^\infty \int_x^{x+1}f dydx + \int_0^\infty_{x+1^{x+2}} f dydx

$\int \int f dydx = \int_0^\infty \int_x^{x+1}f dydx + \int_0^\infty_{x+1^{x+2}} f dydx$ porque tenemos

\infty - \infty .

$\infty - \infty.$ Si no puedo escribir eso, ¿cómo lo sé?

\int f d y

$\int f dy$

Yeldarbskich

La linealidad de la integral de Lebesgue se mantiene cuando las funciones de sumando son no negativas o ambas integrables. Si estás usando el libro de Bass, este es el teorema 7.4. Un vistazo rápido a la división

\int_{X}^{X + 1} 1 d y + \int_{X + 1}^{X + 2} - 1 d y = 1 + (- 1)

$\int_x^{x+1} 1 dy + \int_{x+1}^{x+2} -1 dy = 1 + (-1)$ y puedes ver eso

1

$1$ y

- 1

$-1$ no satisface ninguno de esos criterios.

Ambos Htob

@Yeldarbskich Bien, intentaré reunir todas las cosas. Muchas gracias por su paciencia y ayuda. Lo siento que soy muy lento en la comprensión. El espacio de la medida del producto y la integral doble son difíciles de entender para mí.

Respuestas (1)

Ejemplo: integral iterada y teorema de Fubini

deberías calcular $\int f dy$ primero antes de integrar $dx$ . De esa manera, verá que en realidad está integrando la función cero.
@Yeldarbskich ¿Es válido hacer eso? Me refiero al sentido de reordenación de una serie que no es absolutamente convergente, en el sentido de que podemos reorganizar la serie para que la suma sea igual a cualquier número real. Análogamente, ¿está bien agrupar el integrando como $\int \int F d y d X = \int_{0}^{\infty} (\int_{X}^{X + 1} 1 d y + \int_{X + 1}^{X + 2} - 1 d y) d X = 0.$ $\int\int f dydx = \int_0^\infty (\int_x^{x+1} 1 dy + \int_{x+1}^{x+2} -1 dy)dx = 0.$ Me parece que la integral no está definida inicialmente.
Así es como debería ser. Cuando hacemos integrales iteradas decimos para cada $x$ definir $g(x)=\int f dy$ sosteniendo $x$ constante y luego realizando la integral. Luego te integras $g(x)$ . También podría hacerlo al revés, y este problema no es un ejemplo de la igualdad de Fubini. En este orden $\int f dy$ ciertamente es cero.
@Yeldarbskich Si es así, ¿debería definir primero $gramo (X) = \int_{X}^{X + 1} 1 d y + \int_{X + 1}^{X + 2} - 1 d y .$ $g(x) = \int_x^{x+1}1 dy + \int_{x+1}^{x+2} -1 dy.$ Entonces $g$ es idénticamente cero para cada $x \geq 0.$ Entonces $\int_{x \geq 0} g(x) dx= 0.$ "Entonces $\int\int f dydx = 0$ (¿Puedo reclamar inmediatamente que $\int\int fdydx = \int g(x) dx$ ? )
No estoy muy seguro de cuál es tu confusión. Nosotros escribimos $\int \int f dy dx$ significar $\int \left( \int f dy \right) dx$ y análogamente para el otro orden. Cuando se aplica el teorema de Fubini, podemos ignorar esta distinción ya que son lo mismo.
@Yeldarbskich Lo que estoy confundido es cómo se escribe $\int f dy$ , ya que la región de integración obliga a romper $\int \int F d y d X$ $\int\int f dydx$ en dos piezas, y al integrar cada pieza obtengo $\infty - \infty.$ Entiendo la idea teórica de que $\int \int F d y d X = \int (\int F d y) d X .$ $\int\int f dy dx = \int (\int f dy) dx.$ Pero cuando se trata de una integral doble sobre alguna región, ¿es normal encontrar el límite de $x$ y $y$ al mismo tiempo. Quiero decir que ¿cómo puedes simplemente calcular $\int f dy$ ya que no sabemos como $\int f dy$ se define ?
@Yeldarbskich Creo que la única manera de ver cómo $\int f dy$ aspecto es escribir la integral iterada $\int\int f dydx$ en la forma hago, que parece que la integral se rompe en dos pedazos. Mi preocupación es que cuando nos partimos en dos partes, la integral no existe. Análogamente, es como si tuviéramos $\int F + gramo d X = \int F d X + i norte t gramo d X$ $\int f+g dx = \int f dx + int g dx$ con $\int f dx - \int g dx \neq \infty - \infty$ . Siento que no puedo escribir $\int \int f dydx = \int_0^\infty \int_x^{x+1}f dydx + \int_0^\infty_{x+1^{x+2}} f dydx$ $\int \int f dydx = \int_0^\infty \int_x^{x+1}f dydx + \int_0^\infty_{x+1^{x+2}} f dydx$ porque tenemos $\infty - \infty.$ Si no puedo escribir eso, ¿cómo lo sé? $\int f dy$
La linealidad de la integral de Lebesgue se mantiene cuando las funciones de sumando son no negativas o ambas integrables. Si estás usando el libro de Bass, este es el teorema 7.4. Un vistazo rápido a la división $\int_{X}^{X + 1} 1 d y + \int_{X + 1}^{X + 2} - 1 d y = 1 + (- 1)$ $\int_x^{x+1} 1 dy + \int_{x+1}^{x+2} -1 dy = 1 + (-1)$ y puedes ver eso $1$ y $-1$ no satisface ninguno de esos criterios.
@Yeldarbskich Bien, intentaré reunir todas las cosas. Muchas gracias por su paciencia y ayuda. Lo siento que soy muy lento en la comprensión. El espacio de la medida del producto y la integral doble son difíciles de entender para mí.

matemáticas1000 · Answer 1

Para que se cumpla el teorema de Fubini, debemos tener $f\in L^1(\mathbb R^2)$ , eso es

\iint | F (X, y) | d (X \times y) < \infty .

$\iint |f(x,y)|\ \mathsf d(x\times y)<\infty.$ pero aquí tenemos

\begin{aligned} \iint | F (X, y) | d (X \times y) & = \iint | x_{[0, \infty] \times [X, X + 1)} (X, y) - x_{[0, \infty] \times [X + 1, X + 2)} (X, y) | d (X \times y) \end{aligned}

$\begin{align} \iint |f(x,y)|\ \mathsf d(x\times y) &= \iint|\chi_{[0,\infty]\times[x,x+1)}(x,y)-\chi_{[0,\infty]\times [x+1,x+2)}(x,y)|\ \mathsf d(x\times y) \end{align}$ Desde

[0, \infty] \times [x, x + 1)

$[0,\infty]\times[x,x+1)$ y

[0, \infty] \times [x + 1, x + 2)

$[0,\infty]\times[x+1,x+2)$ son disjuntos para todos

x

$x$ , la integral anterior es equivalente a

\iint x_{[0, \infty] \times [X, X + 1)} (X, y) d (X \times y) - \iint x_{[0, \infty] \times [X, X + 1)} (X, y) d (X \times y),

$\iint\chi_{[0,\infty]\times[x,x+1)}(x,y)\ \mathsf d(x\times y) - \iint\chi_{[0,\infty]\times[x,x+1)}(x,y)\ \mathsf d(x\times y),$ y ambas integrales son infinitas, entonces esto es de la forma

\infty - \infty

$\infty-\infty$ y

f \notin L^{1} (R^{2})

$f\notin L^1(\mathbb R^2)$ . En cuanto a las integrales iteradas, tenemos

\begin{aligned} \iint F d y d X & = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} (x_{[X, X + 1]} (y) - x_{[X + 1, X + 2]} (y)) d y d X \\ = \int_{0}^{\infty} [\int_{X}^{X + 1} d y - \int_{X + 1}^{X + 2} d y] d X \\ = \int_{0}^{\infty} 0 d X \\ = 0 \end{aligned}

$\begin{align} \iint f\ \mathsf dy\ \mathsf dx &= \int_0^\infty\int_0^\infty \left(\chi_{[x,x+1]}(y)-\chi_{[x+1,x+2]}(y)\right)\ \mathsf dy\ \mathsf dx\\ &= \int_0^\infty\left[\int_x^{x+1}\ \mathsf dy - \int_{x+1}^{x+2} \ \mathsf dy \right]\mathsf dx\\ &= \int_0^\infty 0\ \mathsf dx\\ &=0 \end{align}$ e integrando en el orden opuesto produce un número finito

c

$c$ (para

x, y < 2

$x,y<2$ ) más

\begin{aligned} \int_{2}^{\infty} [\int_{y - 1}^{y} d y - \int_{y + 1}^{y} d t] d y & = \int_{2}^{\infty} (X - (X - 1) - (X + 1) + X) d X \\ = \int_{2}^{\infty} 0 d X \\ = 0. \end{aligned}

$\begin{align} \int_2^\infty \left[ \int_{y-1}^y\ \mathsf dy - \int_{y+1}^y\ \mathsf dt\right]\mathsf dy &= \int_2^\infty (x-(x-1) -(x+1)+x)\ \mathsf dx\\ &= \int_2^\infty 0\ \mathsf dx\\ &= 0. \end{align}$ Entonces el valor de la integral es

\begin{aligned} C & = \iint_{[0, 2] \times [0, 2]} F (X, y) d (X \times y) \\ = \iint (x_{[0, y) \times [0, 1]} (X, y) + x_{[1, y - 1] \times [1, 2]} (X, y) - x_{(0, y] \times [1, 2]} (X, y) + x_{[1, y] \times [1, 2]} (X, y)) d (X \times y) \\ = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \\ = \frac{3}{2} . \end{aligned}

$\begin{align} c &= \iint\limits_{[0,2]\times [0,2]}f(x,y)\ \mathsf d(x\times y)\\ &= \iint (\chi_{[0,y)\times[0,1]}(x,y) + \chi_{[1,y-1]\times[1,2]}(x,y) - \chi_{(0,y]\times[1,2]}(x,y) +\chi_{[1,y]\times[1,2]}(x,y))\ \mathsf d(x\times y)\\ &= \frac12 + \frac12 - \frac12 + \frac12\\ &= \frac32. \end{align}$

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