Integrales de Darboux con partición bisecada

llamemos$\overline{\int_a^b}f(x)dx$la integral superior de Darboux de$f$y$\underline{\int_a^b}f(x)dx$el inferior

Construyamos una partición de$[a,b]$en$2^n$intervalos$[x_{k-1},x_k]$definido por$x_k=a+k(b-a)/2^n$y las correspondientes sumas de Darboux

$$\Delta_n=\frac{b-a}{2^n}\sum_{k=1}^{2^n}\sup_{x\in[x_{k-1},x_k]}f(x),\quad \delta_n=\frac{b-a}{2^n}\sum_{k=1}^{2^n}\inf_{x\in[x_{k-1},x_k]}f(x)$$

Veo, tomando las definiciones de$\sup$y$\inf$, y el hecho de que tales particiones son subconjuntos de todas las particiones de$[a,b]$en muchos intervalos cerrados numerables, en cuenta, que

$$\lim_n\Delta_n\geq\overline{\int_a^b}f(x)dx,\quad\quad\quad\lim_n\delta_n\leq \underline{\int_a^b}f(x)dx$$ Además, en el caso de que, si las dos integrales de Darboux coinciden, es decir, si $f$es Riemann-Darboux integrable, también veo, siguiendo las técnicas estándar utilizadas para probar que $\overline{\int_a^b}f(x)dx=\underline{\int_a^b}f(x)dx$si y solo si $f$es Cauchy integrable , que, en tal caso particular, la igualdad $\lim_n\Delta_n=\lim_n\delta_n=\int_a^bf(x)dx$, dónde $\int_a^bf(x)dx$es la integral de Riemann-Darboux, o de Cauchy (es lo mismo), vale.

me pregunto si$\lim_n\Delta_n=\overline{\int_a^b}f(x)dx$y$\lim_n\delta_n=\underline{\int_a^b}f(x)dx$mantener en general, y cómo se puede probar.

Les agradezco a todos por cualquier respuesta!

EDITAR 22 de marzo de 15: resultado más general aquí .