Problemas tomando el límite en ∫baf=limc→a∫bcf∫abf=limc→a∫cbf\int_a^bf=\lim_{c\to a}\int_c^bf de definiciones

Question

Problemas tomando el límite en ∫baf=limc→a∫bcf∫abf=limc→a∫cbf\int_a^bf=\lim_{c\to a}\int_c^bf de definiciones

limites
integración
Matemáticas
análisis real

hurwitz-carlton

Dejar $f$ estar limitado en $[a,b]$ y Riemann integrables para cada $c$ con $a<c<b$ . necesito mostrar eso

$f$ es Riemann integrable en $[a,b]$ , y $\int_a^b f=\lim_{c\to a}\int_c^b f$ .

Mi problema es que no estoy seguro de cómo tomar el límite en el RHS. puedo empezar con $\epsilon > 0$ como siempre, pero luego, cuando terminé de perseguir la definición (tomar particiones arbitrarias, mirar el sup y el inf en las sumas superior e inferior, etc.) todo se volvió tan confuso que no puedo avanzar . ¿Cómo desenredo las definiciones aquí para obtener algo manejable?

Nota: No estoy tratando de usar ningún atajo de "gran teorema" aquí que solo lo haga todo en un solo paso, solo quiero probarlo directamente desde las definiciones, con un corte de esquina mínimo. Además, debido a que a veces parece relevante mencionar esto en este sitio, esto es para el autoaprendizaje, no para la tarea.

Tomas Andrews

¿Por qué tienes que tomar el límite? Dejar

c = a + ϵ

$c=a+\epsilon$ y elige una partición de

(a + ϵ, b)

$(a+\epsilon,b)$ . ¿Qué partición podría tomar?

(a, b)

$(a,b)$ .

hurwitz-carlton

Podría tomar una partición arbitraria en

[a, b]

$[a,b]$ , agregar

a + ϵ

$a+\epsilon$ y restringirlo a

[a + ϵ, b]

$[a+\epsilon, b]$ .

Tomas Andrews

Dije comenzar con una partición de

(a + ϵ, b)

$(a+\epsilon,b)$ y crear una partición de

(a, b)

$(a,b)$ , no de la otra manera.

hurwitz-carlton

Entonces tendría

\bar{\int_{a}^{b}} f = \bar{\int_{a}^{a + ϵ}} f + \int_{a + ϵ}^{b} f

$\overline{\int_a^b}f=\overline{\int_a^{a+\epsilon}}f+\int_{a+\epsilon}^bf$ , ¿bien? (y lo mismo para la integral inferior)

carl mummert

¿No es esto equivalente a

lim_{c \to a^{+}} \int_{a}^{c} f (x) d x = 0

$\lim_{c \to a^+} \int_a^c f(x)\,dx = 0$ ,utilizando la aditividad de la integral? La fórmula que establecí puede ser más fácil de probar, usando el hecho de que la función está acotada. (Hay una respuesta eliminada a este efecto).

Respuestas (1)

Problemas tomando el límite en ∫baf=limc→a∫bcf∫abf=limc→a∫cbf\int_a^bf=\lim_{c\to a}\int_c^bf de definiciones

¿Por qué tienes que tomar el límite? Dejar $c=a+\epsilon$ y elige una partición de $(a+\epsilon,b)$ . ¿Qué partición podría tomar? $(a,b)$ .
Podría tomar una partición arbitraria en $[a,b]$ , agregar $a+\epsilon$ y restringirlo a $[a+\epsilon, b]$ .
Dije comenzar con una partición de $(a+\epsilon,b)$ y crear una partición de $(a,b)$ , no de la otra manera.
Entonces tendría $\overline{\int_a^b}f=\overline{\int_a^{a+\epsilon}}f+\int_{a+\epsilon}^bf$ , ¿bien? (y lo mismo para la integral inferior)
¿No es esto equivalente a $\lim_{c \to a^+} \int_a^c f(x)\,dx = 0$ ,utilizando la aditividad de la integral? La fórmula que establecí puede ser más fácil de probar, usando el hecho de que la función está acotada. (Hay una respuesta eliminada a este efecto).

RRL · Answer 1

Como $f$ está limitado en $[a,b]$ , tenemos $|f(x)| \leqslant M$ para todos $x \in [a,b]$ .

Elegir $x_1$ tal que

X_{1} - a < \frac{ϵ}{4 METRO} .

$x_1 - a < \frac{\epsilon}{4M}.$

Como $f$ es integrable sobre $[x_1,b]$ , para cada $\epsilon > 0$ hay una partición $P': x_1 < x_2 < \ldots < x_n = b$ tal que la diferencia entre las sumas de Darboux superior e inferior satisface

tu ({PAG}^{'}, F) - L ({PAG}^{'}, F) < \frac{ϵ}{2} .

$U(P',f) - L(P',f) < \frac{\epsilon}{2}.$ Considere la partición

P : a = x_{0} < x_{1} < x_{2} < \dots < x_{n} = b

$P: a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n = b$ de

[a, b]

$[a,b]$ . Entonces la diferencia entre las sumas superior e inferior es

tu (PAG, F) - L (PAG, F) = tu ({PAG}^{'}, F) - L ({PAG}^{'}, F) + [\underset{a ⩽ X ⩽ X_{1}}{sorber} F (X) - inf_{a ⩽ X ⩽ X_{1}} F (X)] (X_{1} - a) < \frac{ϵ}{2} + 2 METRO (X_{1} - a) < ϵ .

$U(P,f) - L(P,f) = U(P',f) - L(P',f) + [\sup_{a \leqslant x \leqslant x_1}f(x) - \inf_{a \leqslant x \leqslant x_1}f(x)](x_1-a) \\ < \frac{\epsilon}{2} + 2M(x_1-a) \\ < \epsilon.$

Por lo tanto, $f$ satisface el criterio de Riemann y es integrable sobre $[a,b]$ .

Además, $f$ es integrable sobre $[a,c]$ y

0 ⩽ | \int_{a}^{C} F (X) d X | ⩽ \int_{a}^{C} | F (X) | d X ⩽ METRO (C - a) ⟹ \underset{C \to a}{límite} \int_{a}^{C} F (X) d X = 0.

$0 \leqslant \left|\int_a^cf(x) \, dx\right|\leqslant \int_a^c|f(x)| \, dx\leqslant M(c-a)\\ \implies \lim_{c \to a} \int_a^cf(x) \, dx =0.$

Por eso,

\int_{a}^{b} F (X) d X = \underset{C \to a}{límite} \int_{a}^{b} F (X) d X = \underset{C \to a}{límite} \int_{a}^{C} F (X) d X + \underset{C \to a}{límite} \int_{C}^{b} F (X) d X = \underset{C \to a}{límite} \int_{C}^{b} F (X) d X

$\int_a^bf(x) \, dx = \\ \lim_{c \to a} \int_a^bf(x) \, dx \\ = \lim_{c \to a} \int_a^cf(x) \, dx + \lim_{c \to a} \int_c^bf(x) \, dx \\ = \lim_{c \to a} \int_c^bf(x) \, dx$

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Tomas Andrews

hurwitz-carlton

Tomas Andrews

hurwitz-carlton

carl mummert

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RRL

Encuentra limn→∞∫10f(x)sin(nx)dxlimn→∞∫01f(x)sin⁡(nx)dx \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} f(x) \ sin(nx)dx donde fff es continuamente diferenciable sobre [0,1][0,1][0,1]

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